Question

已知圆C和y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且被直线y=x截得的线长为2倍根号7，求圆C的方程？

Answer 1

∵圆心在直线x－3y＝0上，∴可设圆心的坐标为（3m，m）。
∵圆与y轴相切，∴圆心到y轴的距离就是圆的半径，得：圆的半径为｜m｜。
∴圆的方程可写成：（x－3m）^2＋（y－m）^2＝m^2。令y＝x，得：
（x－3m）^2＋（x－m）^2＝m^2，再令x－m＝k，得：（k－2m）^2＋k^2＝m^2，
∴k^2－4mk＋4m^2＋k^2－m^2＝0，∴2k^2－4mk＋3m^2＝0。

令直线y＝x与圆的交点为A（a，a）、B（b，b）。
则：a－m、b－m就是方程2k^2－4mk＋3m^2＝0的两根，由韦达定理，得：
（a－m）＋（b－m）＝2m，且（a－m）（b－m）＝3m^2/2。
由（a－m）＋（b－m）＝2m，得：a＋b＝4m。
由（a－m）（b－m）＝3m^2/2，∴ab－m（a＋b）＋m^2＝3m^2/2，
∴ab＝m（a＋b）－m^2/2＝m×4m－m^2/2＝7m^2/2。

依题意，有：｜AB｜＝2√7，∴｜AB｜^2＝28，∴（a－b）^2＋（a－b）^2＝28，
∴（a－b）^2＝14，∴（a＋b）^2－4ab＝14，∴（4m）^2－4×（7m^2/2）＝14，
∴16m^2－14m^2＝14，∴m^2＝7，∴m＝±√7。

由m＝√7，得此时圆的方程是：（x－3√7）^2＋（y－√7）^2＝7。
由m＝－√7，得此时圆的方程是：（x＋3√7）^2＋（y＋√7）^2＝7。
即满足条件的圆的方程有两条，分别是：
①　（x－3√7）^2＋（y－√7）^2＝7；　　　②　（x＋3√7）^2＋（y＋√7）^2＝7。