Question

椭圆的应用题

将一块边界为椭圆的铁皮截成一块梯形铁皮,已知该椭圆的长轴长为4,短轴长为2,若以椭圆的短轴为梯形的一条底边,则梯形面积的最大值是多少

Answer 1

解：以椭圆的对称中学为坐标原点，长轴所在直线为X轴，短轴所在直线为Y轴，建立直角坐标系。设梯形为ABCD，C,D在Y轴上。椭圆为X^2/A^2+Y^2/B^2=1(A>B>0)
因为椭圆长轴长为4 短轴长为2
所以A=2,B=1
所以椭圆方程：X^2/4+Y^2=1
因为椭圆的短轴为梯形的一条底边
所以CD=2
设A坐标(X,Y)，则B坐标(X,-Y)
所以，梯形的上底长为｜2Y｜,下底长为2,高为｜X｜
所以，梯形的面积S=(｜2Y｜+2)×｜X｜÷2=｜XY｜+｜X｜
所以S^2=X^2×(｜Y｜+1)^2……①
因为A在椭圆上，
所以X^2=4-4×Y^2……②
②代入①得
S^2=-4Y^4-8｜Y｜^3+8｜Y｜+4
求导得(S^2)‘=-8×(2｜Y｜^3+3Y^2-1)
因为0≤｜Y｜≤1
所以Y=1/2时(S^2)'=0，梯形的面积S取到最大值，为3√3/2