Question

一道椭圆方程的题

已知P是椭圆x^2/4+y^2=1的一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且角F1PF2=90度，求三角形F1PF2的面积

Answer 1

a²=4,b²=1
所以c²=4-1=3
c=√3,a=2
设PF1=m,PF2=n
则由椭圆定义
m+n=2a=4
平方
m²+n²+2mn=16
m²+n²=16-2mn

F1F2=2c=2√3
余弦定理
cos60=1/2=(m²+n²-F1F2²)/2mn
m²+n²-12=mn
所以16-2mn-12=mn
mn=4/3

所以S=1/2mnsin60=√3/3

Answer 2

设|PF1|=r1, |PF2|=r2
由椭圆定义知：r1+r2=4
所以 r1^2+r2^2+2r1r2=16
即 r1^2+r2^2+4S=16……(S表示所求的面积)
又因为90度
所以 r1^2+r2^2=(2c)^2=12，带回上式可解出S