Question

是否存在常数a,b(a<b)使1*n+2*(n-1)

是否存在常数a、b(a<b),使等式1×n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=1/6n(n+a)(n+b)对一切正整数N*成立,证明你的结论.

分析：先取n=1、2,探求a、b的值,然后用数学归纳法证明对一切的n∈N*,a、b所确立的等式都成立.

解：令n=1,得1=(1+a)(1+b),令n=2得4=(2+a)(2+b),

整理解得a=1,b=2.

为什么n=1时，左边不是=1*1+1*1=2呢

Answer 1

因为左边的式子的写法说明这是一个n项式,每一项都是和n相关的两个数的乘积,这两个数左边的为:
1,2,3, ...n-1,n
右边的为:
n,n-1,n-2.....3,2,1
这两个数列对应项相乘

所以,当n=1时,这个n项式只有一项,也就是1*1

追问

我还是不太明白
1×n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=1/6n(n+a)(n+b)
当n=1时，左边式子的第一项和最后一项不是都可以取值吗？

追答

因为这是一个N项式，所以当N等于1时，整个式子只有一项。
举例来说，写一个式子为自然数N项和：1 + 2 + 3 + ...+ n-2 + n-1 + n
当n=3时，式子为1 + 2 + 3
当n=2时，式子为1 + 2
当n=1时，式子为1，而不是1+1
同样的，你的式子中
当n=3时，式子为1*3 + 2*2 + 3*1
当n=2时，式子为1*2 + 2*1
当n=1时，式子为1*1，而不是1*1 + 1*1

Answer 2

式子右边有没错，是不是N（N+A)(N+B)/6？

Answer 3

式子右边有没错，是不是N（N+A)(N+B)/6？