Question

如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD中点,点E从点A出发沿AB运动到点B停止

如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD中点,点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD与点F，过M作EF垂线交射线BC与点C连接EG、FG.
(1) 设AE=X，△ECF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2） p是MG的中点，请直接写出点p的运动路线的长。

Answer 1

您好！

解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=1/2×2×2=2
当点E与点A不重合时，0＜x≤2
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°
∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF
∵AM=DM，∠AME=∠DMF
∴△AME≌△DMF
∴ME=MF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=根号(x^2+1)
∴EF=2ME=2×根号(x^2+1)
过M作MN⊥BC，垂足为N
则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴AM:NM=ME:MG，即ME:MG=1:2
∴MG=2ME=2根号(x^2+1)
∴y=1/2×EF×MG=1/2×2×根号(x^2+1)×2×根号(x^2+1)=2x^2+2
∴y=2x2+2，其中0≤x≤2；（6分）

（2）PP′即为P点运动的距离；
在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；
∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG；
∴tan∠MBG=tan∠GMG′=2；
∴GG′=2MG=4；
△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，
∴PP′是△MGG′的中位线；
∴PP′=1/2×GG′=2；
即：点P运动路线的长为2

Answer 2

解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=1/2×2×2=2
当点E与点A不重合时，0＜x≤2
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°
∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF
∵AM=DM，∠AME=∠DMF
∴△AME≌△DMF
∴ME=MF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=根号(x^2+1)
∴EF=2ME=2×根号(x^2+1)
过M作MN⊥BC，垂足为N
则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴AM:NM=ME:MG，即ME:MG=1:2
∴MG=2ME=2根号(x^2+1)
∴y=1/2×EF×MG=1/2×2×根号(x^2+1)×2×根号(x^2+1)=2x^2+2
∴y=2x2+2，其中0≤x≤2；（6分）

（2）PP′即为P点运动的距离；
在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；
∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG；
∴tan∠MBG=tan∠GMG′=2；
∴GG′=2MG=4；
△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，
∴PP′是△MGG′的中位线；
∴PP′=1/2×GG′=2；
即：点P运动路线的长为2

Answer 3

答：解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y= ×2×2=2
当点E与点A不重合时，0＜y≤2
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°
∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF
∵AM=DM，∠AME=∠DMF
∴△AME≌△DMF
∴ME=MF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=
∴EF=2ME=2
过M作MN⊥BC，垂足为N（如图）
则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴ = ，即 =
∴MG=2ME=2
∴y= EF×MG= ×2 ×2 =2x2+2
∴y=2x2+2，其中0≤x≤2；（6分）

（2）如图，PP′即为P点运动的距离；
在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；
∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG；
∴tan∠BMG=tan∠GMG′=2；
∴GG′=2BG=4；
△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，
∴PP′是△MGG′的中位线；
∴PP′= GG′=2；
即：点P运动路线的长为2．（

Answer 4

答：解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y= ×2×2=2
当点E与点A不重合时，0＜y≤2
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°
∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF
∵AM=DM，∠AME=∠DMF
∴△AME≌△DMF
∴ME=MF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=
∴EF=2ME=2
过M作MN⊥BC，垂足为N（如图）
则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴ = ，即 =
∴MG=2ME=2
∴y= EF×MG= ×2 ×2 =2x2+2
∴y=2x2+2，其中0≤x≤2；（6分）

（2）如图，PP′即为P点运动的距离；
在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；
∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG；
∴tan∠BMG=tan∠GMG′=2；
∴GG′=2BG=4；
△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，
∴PP′是△MGG′的中位线；
∴PP′= GG′=2；
即：点P运动路线的长为2．（8分）