Question

设 f (x)= x, x∈Q = 0, x∈R\Q 证明：1、f (x)在x=0连续 2、f (x)在非零的x处都不连续

Answer 1

证明：
1、f(0)=0，任δ>0，任x∈（-δ，δ），有|f(x)-f(0)|<=|x-0|<δ
由以上讨论可以知道
任ε>0，存在δ=ε，使得任x∈B0(0,δ），|f(x)-f(0)|<ε
因此f(x)在x=0连续
2、
先证明任b>a，总有有理数q，无理数r属于（a,b)
取正整数n>1/(b-a)，则总有bn-an>1，即有正整数m满足an<m<bn
则存在有理数s=m/n∈（a,b)
若b-s为有理数，取r=s+(b-s)/根号2，若b-s为无理数，取r=s+(b-s)/2
则存在无理数r∈（a,b）
下面开始证明：
在任意x=x0处(x0不等于0)
若x0∈Q，则f(x0)=x0
存在ε=|x0|/2，使得任意δ>0，有x满足x属于x∈B0(0,δ)且x∈R\Q，
使得|f(x)-f(x0)|=|x0|>ε
若x0∈R\Q，则f(x0)=0
取x1∈(x0-δ，x0),x2∈(x0，x0+δ),且x1,x2∈Q
则max(|f(x1)-f(x0)|,|f(x2)-f(x0)|)>|x0|
即存在ε=|x0|/2，使得任意δ>0，有x满足x属于x∈B0(0,δ)且x∈Q，
使得|f(x)-f(x0)|=|x0|>ε
综上可证得f (x)在非零的x处都不连续