Question

如图,在平行四边形ABCD外有一点E,若AE⊥EC,BE⊥ED.求证:平行四边形ABCD是矩形

Answer 1

证明：
平行四边形ABCD，可得：对角线平分，不妨假设AC与BD的交点为O，则AO=OC；BO=OD。
AE⊥EC，BE⊥ED，则：E为以AC直径的圆上一点，同理，也是以BD为直径的圆上的一点。
根据AO=OC，则O为前述构成圆的圆心，两个圆都是。而E为圆上的点，所以，O也是直径的中心，即：AO=OC=OE；同理，BO=OD=OE。
二者联立得：AO=OC=OE=BO=OD，亦即AC=BD。
再根据四边形ABCD是平行四边形，此时，根据“对角线相等的平行四边形是矩形（根据三角形全等，则其中一角是直角，从而得此判据）”，得平行四边形ABCD是矩形。
证毕。