Question

1.在正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥PB,交直线CD于点E,如图，若点P在

1.在正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥PB,交直线CD于点E,如图，若点P在线段AO上（不与点A,O重合），延长BP交直线AD于点F,连接EF。写出线段AF,EF,CE之间一个的等量关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：依题作图，设∠FBD=x,正方形边长为1，则
AF=tan(45-x)=(1-tanx)/(1+tanx),FD=1-AF=1-tan(45-x)=2tanx/(1+tanx).PO=√2/2tanx.
因为△BFD∽△PEC,所以CE/FD=PC/BD,解得：CE=tanx.所以ED=CD-CE=1-tanx.
在此设 tanx=a,方便计算
FE*FE=FD*FD+DE*DE=[2a/(1+a)]*[2a/(1+a)]+(+(1-a)(1-a)
(AF+CE)*(AF+CE)=[(1-a)/(1+a)+a]*[(1-a)/(1+a)+a]
经计算得FE*FE=(AF+CE)*(AF+CE)，所以EF=AF+CE。

追问

这道题是初二几何题，学生看不懂

追答

正切是学过的吧，相似等比学过的吧，你可能不懂的地方是AF=tan(45-x)=(1-tanx)/(1+tanx),是吗？那么，换一个解法，可能计算量大一点，思路如下：设正方形边长为1，从F点作FM垂直BD,垂足为点M，设PO=b,FD=a,∠FBD=x，则FM=√2a/2.因为PE⊥PB，BD⊥AC，所以△BPO∽△BFM,△BFD∽△PEC,根据相似等比，可得：FM/PO=PO/BO,CE/FD=PC/BD.解得：PO=b=√2a/2(2-a).
CE=√2b=a/(2-a).[1式]
DE=1-CE=1-a/(2-a)=(2-2a)/(2-a)[2式]
利用勾股定理求得EF的平方值EF²=(a的四次方-4a³+8a²-8a+4)
再将(AF+CE)的值平方，(AF+CE)²=(a的四次方-4a³+8a²-8a+4)
所以EF=AF+CE。

追问

您的解法很正确，我作为家长能弄懂。但是学生还没有学相似三角形，不知怎样作辅助线才能证明EF=AF+CE

追答

从点E作EM平行AD交AC于点M,则CE=EM，交BF于点N，从P点作直角三角形的中线PG交EF于点G,即PG=1/2EF.易证PG平行于AF，且为梯形AFEN的中位线，所以AF+CE=2PG，所以AF+CE=EF.

追问

实在不好意思，老师！我曾经也作了EN平行AD,就是没有证到P为NF的中点，现在您作了直角三角形PEF的中线PG,可我就是没证到PG平行AF或者平行EN.再次麻烦您详解，好吗？谢谢！

Answer 2

第一问是DF=EF吧
解：（1）连接BE、PD，过点P作AD的垂线，垂足为G，
①因为点O为正方形ABCD对角线AC中点，
∴点O为正方形中心，且AC平分∠DAB和∠DCB，
∵PE⊥PB，BC⊥CE，
∴B、C、E、P四点共圆，
∴∠PEB=∠PCB=45°，∠PBE=∠PCE=45°，
∴∠PBE=∠PEB=45°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴PB=PE，
在△PAB和△PAD中有：AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°，AP为公共边，
∴△PAB≌△PAD（SAS），
∴PB=PD，
∴PE=PD，
又∵PF⊥CD，
∴DF=EF；

②∵PF⊥CD，PG⊥AD，且，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，
∵四边形DFPG为矩形，
∴PA=$\sqrt{2}$PG，PC=$\sqrt{2}$CF，
∵PG=DF，DF=EF，
∴PA=$\sqrt{2}$EF，
∴PC=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$（CE+EF）=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$CE+PA，
即，PC、PA、CE满足关系为：PC=$\sqrt{2}$CE+PA；
（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=$\sqrt{2}$CE．
如图：

①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E四点共圆，
∴∠PEC=∠PBC，
在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已证），PC边公共边，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴∠PBC=∠PDC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF=EF；
②同理：PA=$\sqrt{2}$PG=$\sqrt{2}$DF=$\sqrt{2}$EF，PC=$\sqrt{2}$CF，
∴PA=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$（CE+CF）=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$CE+PC
即，PC、PA、CE满足关系为：PA-PC=$\sqrt{2}$CE．
希望能帮助到您！

追问

②∵PF⊥CD，PG⊥AD，且，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，
∵四边形DFPG为矩形，
∴PA=$\sqrt{2}$PG，PC=$\sqrt{2}$CF，
∵PG=DF，DF=EF，
∴PA=$\sqrt{2}$EF，
∴PC=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$（CE+EF）=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$CE+PA，
即，PC、PA、CE满足关系为：PC=$\sqrt{2}$CE+PA；
看不懂，题目是求AF.EF与CE的关系式。而且，这道题是初二几何题，学生没法读懂。

追答

我是从http://zhidao.baidu.com/question/284459454.html看来的。。。

Answer 3

xjw条件不足,无法证明是菱形,
要知道一些等腰梯形,或是不规则四边形的对角线也是互相垂直的kdo

Answer 4

楼主请看http://zhidao.baidu.com/question/284459454.html