Question

已知点P(6,4)和直线L1：y=4x,求过点P的直线L，使它与直线L1以及X轴在第一象限内围成的三角形面积最小。

已知点P(6,4)和直线L1：y=4x,求过点P的直线L，使它与直线L1以及X轴在第一象限内围成的三角形面积最小。要过程，O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

解：设直线L与直线L1的交点为P1(a,4a)。.a>1，否则不能围城三角形。
那么，两点确定直线L
L: y-4=((4a-4)/(a-6))(x-6)
那么，L与x轴交点（通过作图，此点在x轴正半轴上）为：令y=0
x=(a-6)/(1-a)+6
三角形面积最小，即，x乘以高最小，而高就是交点的纵坐标，4a
s=0.5x4a=2xa=2(a²-6a)/(1-a)+6a=-10a²/(1-a)
对s求导。可知，当a=2是，导数为零。（a=0舍去）
所以，当a=2时最小。
此时，P1点（2,8)
直线L：y=-x+10
希望对你有帮助

Answer 2

跟楼上方法不同，设直线好像传统点

设过点P的直线L：y=kx-6k+4，
则L与x轴交点为（6-4/k，0），与L1交点为（6+20/（k-4），24+80/（k-4）），
（用交点的横纵坐标替代第一象限内三角形的底与高的长度）
则为成三角形面积S=底×高/2=[6-4/k]*[24+80/(k-4)]/2=8*(9k²-12k+4)/（k²-4k），（k≠0或4）
记p=（9k²-12k+4)/（k²-4k），整理得（p-9）k²+（12-4p）k-4=0①，
①的判别式△=16p²-80p，解△≥0得p的取值范围得p≥5（因为k必为实数），则S最小值为40
代入p=5到①，解得k=-1，则直线方程为L：y=-x+10
（由于三角形在第一象限内，舍去p为非正数的情况，即舍去p≤0）；
另外讨论，L无斜率的情况，得到S=72，不合题意；
综上所述，符合题意的直线方程为y=-x+10。

Answer 3

解：∵直线l1为y=4x，点Q在直线l1上，
设Q（a，4a），P（6，4），
∴直线l2的解析式为：y-4= （4a-4）/（a-6）×（x-6）；
令y=0，x= 5a/（a-1），
∴M（ 5a/（a-1），0）；
∴在第一象限内直线l1、直线l2和x轴围成的三角形的面积为：
S= 12×OM×h= 12× 5a/（a-1）×4a= 10a^/(2a-1)
= [10(a-1)^2+20(a-1)+10]/（a-1）
=10（a-1）+ 10/(a-1)+20≥2 根号100+20=40，
当10（a-1）= 10/（a-1）时，三角形面积最小，
即a-1=1时等号成立，
故a=2，
点Q的坐标为（2，8）
∴S的最小值为：40．