Question

一道高一的数学关于函数单调性的题目啊

设f(x)= 根号（x²+1） - ax，当a∈【1，+∞】，证明函数f(x)在[0,+∞]上是单调减函数

Answer 1

高一不会求导的话，用定义法：对任意的x2和x1，其中0<x1<x2,计算f(x2)-f(x1)，代入f（x1）和f（x2）计算，说明结果小于0就行了，中间用到两步关键的：

根号（x1²+1）-根号（x2²+1）=（x1+x2）（x1-x2）/(根号（x1²+1）+根号（x2²+1））其实就是平方差公式

提出公因式（x1+x2），然后利用x1<根号x1²<根号(x1²+1),x2<根号x2²<根号(x2²+1)
得出(x1+x2)/(根号(x1²+1)+根号(x2²+1))<1<a

打字累死了，给分吧！

Answer 2

求导大于零试试~或者结合根号运算和二次方程的曲线区域单调性证明，应该很快可以得证

Answer 3

1.对函数求导数，f'(x)=2*x / 2*(根号（x²+1）) - a = x /(根号（x²+1）) -1
因为 x /(根号（x²+1）)总小于1，所以在[0,+∞]上 f'(x) < 0 恒成立，即函数f(x)在[0,+∞]上是单调
减函数。
2.如果没学过导数，可设x=tanx ，其中x属于 [0,90度]，则有
f(x)= 1/ cosx - a * tanx
设x1>x2>=0，则有f(x1)-f(x2)=1/cosx1-atanx1-(1/cosx2-atanx2)
=1/cosx1-1/cosx2-a*(tanx1-tanx2)
= ( cosx2*(1-asinx1)-cosx1*(1-asinx2) ) /cosx1*cosx2
<= ( cosx2*(1-sinx1)-cosx1*(1-sinx2) ) /cosx1*cosx2

因为x1>x2，所以cosx1<cosx2，sinx1>sinx2。上式分子<0，分母>0，所以有f(x1)-f(x2)<0
即，当x1>x2>=0时，f(x1)-f(x2)<0。
所以函数f(x)在[0,+∞]上是单调减函数。

Answer 4

求导

Answer 5

求导就好了