Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M，m，集合A={X|f(x)=x}.

若A={1}，且a大于等于1，记g(a)=M+m，求g(a)的最小值

Answer 1

f(x)=x,即ax^2+(b-1)x+c=0
A={1}，说明a+b-1+c=0
又∵ Δ=（b-1）^2-4ac=0
∴a=c,b=1-2a
f(x)=ax^2+(1-2a)x+a
对称轴为x=1-1/(2a)，且 a>1
∴对称轴的取值范围是[1/2,1)
∴x=(2a-1)/2a时有最小值m，且为（4a-1）/4a
当x=-2时有最大值M，且为4a-2+4a+a=9a-2
g(a)=(4a-1)/4a+9a-2=9a - 1/(4a) - 1
g(a)在（0，+∞）上单调递增，所以a=1时有最小值
g(1)=8-1/4=31/4

追问

又∵ Δ=（b-1）^2-4ac=0
∴a=c,b=1-2a
为什么?

追答

∵A={1}说明f(x)=x有且只有一个解啊~

追问

怎么得到a=c,b=1-2a?

追答

∵a+b-1+c=0
∴b-1=-a-c
又∵（b-1）^2-4ac=0
∴(a+c)²-4ac=0
即(a-c)²=0
∴a=c
∴b=1-2a

追问

为什么g(a)在（0，+∞）上单调递增?

追答

其实很容易“目测”的
∵g(a)=(4a-1)/4a+9a-2=9a - 1/(4a) - 1
又∵a↑，9a↑
a↑，1/a↓，即1/(4a)↓
∴- 1/(4a)↑
∴这些东西+起来之后都是a↑，g(a)↑
即g(a)在（0，+∞）上单调递增
注：↑表示变大，↓表示变小

Answer 2

由A={1}知，方程f(x)=x即ax^2+（b-1）x+c=0有两个相等的实根，即是1，于是有
a+b-1+c=0 ;
-（b-1）/2a=1.
联立解得b=1-2a c=a,带入f(x)得
f(x)=ax^2+(1-2a)x+a
对称轴为x=1-1/(2a)，又a≥1
所以1-1/(2a)∈（1/2,1)
又x∈[-2,2],所以当x=1-1/(2a)时取最小值，即m=1-1/(4a)
当x=-2时取最大值，即M=9a-2
于是g(a)=M+m=9a - 1/(4a) - 1
显然g(a)在[1，+∞）上单调递增【目测：增函数+增函数+常值函数为增函数】
故
当a=1时，g(a)取得最小值g(1)=31/4

Answer 3