Question

一道线代题求助

已知向量组a1,a2,……am线性无关,而b1=a1+a2,b2=a2+a3,……,bm-1=am-1+am,bm=am+a1,试确定向量组b1,b2,……,bm的线性相关性

Answer 1

传统解法

解: 设 k1b2+k2b2+...+kmbm=0.
则 k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+...+km(am+a1)=0
即 (k1+km)a1+(k1+k2)a2+...+(km-1+km)am=0
因为 a1,a2,...,am 线性无关
所以
k1+km=0
k1+k2=0
...
km-1+km=0
因为系数行列式 =

1 0 0...0 1
1 1 0...0 0
0 1 1...0 0
... ...
0 0 0...1 1
= 1+(-1)^t(m12...m-1)
= 1+(-1)^(m-1)

所以 m为奇数时, 系数行列式=2, 方程组只有零解
即 k1=k2=...=km=0.
故此时向量组 b1,b2,...,bm 线性无关.

当m为偶数时, 系数行列式=0, 方程组有非零解.
此时向量组 b1,b2,...,bm 线性相关.