Question

已知a属于R，函数f(x)=x^2乘以(x-a).(1)若函数f(x）在区间（0，2/3）内是减函数，求实数a的取值范围。

（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h(a)。
（3）对（2）中的h(a)，若关于a的方程h(a)=m(a+1/2)有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围？

Answer 1

1、f(x)=x^2*(x-a) 在区间（0，2/3）内是减函数
则f'(x)=3x^2-2ax=x(3x-2a)<0, ∵x∈（0，2/3）∴3x-2a<0
∴a>3x/2，x取最大值2/3时，有a>1
2、有最小值，令f'(x)=x(3x-2a)=0，解得x=2a/3 ∈[1,2] (x=0舍弃)
则最小值h(a)=f(2a/3)=(2a/3)^2(2a/3-a)=4a^2/9*(-a/3)=-4a^3/27
3、方程h(a)=-4a^3/27=m(a+1/2)化简得g(a)=4a^3/27+ma+m/2=0
求导得，g'(a)=4a^2/9+m
方程有两个不相等的实根，则三次曲线与x轴有两个交点
且有两个极值点，且其中一个极值点必为交点
有两个极值点，则对g'(a)=4a^2/9+m有△=0-4*4/9*m=-16m/9>0，∴m<0