Question

已知函数f(X)=a的x次方+（x-2)/(x+1) (a>1),求证：(1)f(x)在（-1，+∞）上为增函数。

(2)方程fx没有实根
第二问应该是方程fx=0没有负实根

Answer 1

f(X)=a的x次方+（x-2)/(x+1) (a>1)
=a^x+[（x+1)-3]/(x+1)
=a^x+1-3/(x+1)
a^x 是增函数
1/(x+1)在（-1，+∞）上为减函数,
所以-1/(x+1)在（-1，+∞）上为增函数
从而f(X)=a的x次方+（x-2)/(x+1) (a>1)在（-1，+∞）上为增函数

追问

第二问呐？

追答

什么方程,你写得不清楚!

追问

方程是f(x)=aˆx+[(x－2)／(x+1)]﹙a＞1﹚

追答

aˆx+[(x－2)／(x+1)]=0
a^x+1-3/(x+1)=0
f(x)=a^x+1-3/(x+1)
f(0)=1+1-3=-10
零点定理在(0,2)必有一实数根

Answer 2

对任意 -1< s < t < +∞
f(s) - f(t)
= a^s + (s-2)/(s+1) - a^t - (t-2)/(t+1)
= a^s - a^t + (s-2)/(s+1) - (t-2)/(t+1)
= a^s - a^t + {(s-2)(t+1) - (s+1)(t-2)} / {(s+1)(t+1)}
= a^s - a^t + {(st-2t+s-2) - (st+t-2s-2)} / {(s+1)(t+1)}
= a^s - a^t + 3(s-t) / {(s+1)(t+1)}
< 0
所以f(x)在（-1，+∞）上为增函数

Answer 3

设m,n同在（-1，+∞）上且m<n
f(n)-f(m)=a^n-a^m+（n-2)/(n+1) -（m-2)/(m+1) =a^n-a^m+3/(m+1) -3/(n+1)
a>1,则a^n>a^m,a^n-a^m>0
n+1>m+1>0,则1/(m+1) >1/(n+1),3/(m+1) -3/(n+1)>0
f(n)>f(m),得证

Answer 4

函数求导啊，直接就出来了