Question

已知函数f(x)=a的x次方+(x-2)/(x+1)(a>1) 求证函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数，方程f(x)=0在（0,1）内必有

根
实根

Answer 1

f(x)=a的x次方+(x-2)/(x+1)(a>1)
=a的x次方-3/（x+1）+1
a的x次方 是增函数 -3/（x+1）为增函数 增函数之和为增函数
f(x)在其定义域内为增函数
其定义域为x≠-1
函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数

f（0）=-1 ＜0
f（1）=a-1/2 ＞0
所以方程f(x)=0在（0,1）内必有 实根

Answer 2

f(x)=a^x+(x-2)/(x+1)(a>1)
定义域x≠-1
令-1＜x1＜x2
f(x2)-f(x1)=[ a^x2+(x2-2)/(x2+1) ] - [ a^x1+(x1-2)/(x1+1) ]
= a^(x2-x1) + (x2-2)/(x2+1) - (x1-2)/(x1+1)
= a^(x2-x1) + [(x2-2)(x1+1)-(x1-2)(x2+1)]/[(x2+1)(x1+1)]
= a^(x2-x1) + 3 (x2-x1) / [(x2+1)(x1+1)]
∵a＞0，∴a^(x2-x1)恒大于0
又：在(-1,+∞)上[(x2+1)(x1+1)]＞0，x2-x1＞0
∴a^(x2-x1) + 3 (x2-x1) / [(x2+1)(x1+1)]＞0
∴f(x2)-f(x1)＞0
∴f(x)在(-1,+∞)上为增函数

f(0)=a^0+(0-2)/(0+1) =1-2=-1＜0
f(1)=a+(1-2)/(1+1)=a-1＞0
f(0)*f(1)＜0
函数在（0，1）存在零点
∴f(x)=0在（0,1）内必有实数根

Answer 3

x2>x1>-1
f(x2)-f(x1)=ax2^2+(x2-2)/(x2+1)-ax1^2-(x1-2)/(x1+1)
=a(x2-x1)(x2+x1)-(x2-x1)/[(x2+1)(x1+1)]
=(x2-x1)[a(x2+x1)-3/(x2+1)(x1+2)]
>0
函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数，
f(0)=-2<0
f(1)=a-1/2>0 (a>1)
方程f(x)=0在（0,1）内必有实根