Question

一道高数的选择题，求解释

g（x,y）=|x-y|f(x,y),f(x,y)在(0,0)点连续且f（0,0）=0,则g(x,y)
A.在（0,0）点连续，但偏导不存在
B.在（0,0）点可微
C.在（0,0）点偏导存在，但不连续
D.在（0,0）点偏导存在，但不可微

Answer 1

limg(x,y)=lim|x-y|*f(0,0)=0 =g(0,0) (x到0,y到0)
即连续C错
gx(0,0)=lim(g(x,0)-g(0,0))/x
=lim|x|f(x,0)/x
=f(0,0)lim|x|/x
=0
即偏导数存在
所以A错
lim(Δg-dg)/ρ=lim(|x-y|f(x,y))/√(x^2+y^2)
0<=(|x-y||f(x,y)|)/√(x^2+y^2)<=|f(x,y)|
limf(x,y)=0
夹逼准则得lim(Δg-dg)/ρ=0
所以可微B对
选B

Answer 2

这是一个多元函数题，公式：连续+可导=可微。也就是说可微能推出可导，也能推出连续，而连续加可导才能推出可微，但可导不一定连续。由此可推出答案C

Answer 3

应选A
首先g(x,y)在（0,0）点连续
∵f(0,0)=0
lim g(x,y)=|x-y|f(x,y)=|0-0|f(0,0)=0
x→0
y→0
∴g(x,y)在（0,0）点连续
但其偏导在(0,0)处不存在
在(0,0)处对x的偏导：
lim g′(0,0)=lim [g(x,0)-g(0,0)]/x
x→0
=lim |x-0|f(x,0)/x
x→0
=lim |x|f(0,0)/x
x→0
又∵lim |x|/x=1,lim |x|/x=-1
x→0+ x→0-
∴lim |x|/x不存在
x→0
∴g(x,y)在(0,0)处偏导不存在
因而，g(x,y)在(0,0)处不可微
希望我的解答对你有所帮助