Question

求具有特解y1=e^-x, y2=2xe^-x, y3=3e^x　的3阶常系数齐次线性微分方程是什么？ 请给详细过程

Answer 1

设齐次线性方程
ay'''+by''+cy'+dy=0
y1'=-e^(-x) y1''=e^(-x) y1'''=-e^(-x)
y2'=2e^(-x)-2xe^(-x) y2''=-2e^(-x)-2e^(-x)+2xe^(-x) y2'''=4e^(-x)+2e^(-x)-2xe^(-x)
y3'=3e^x y3''=3e^x y3'''=3e^x
(a+b+c+d)e^x + (-a+b-c+d+6a-4b+2c)e^(-x)+(-2a+2b-2c+2d)xe^(-x)=0
a+b+c+d=0
5a-3b+c+d=0
-2a+2b-2c+2d=0
a=b,c=d, a=-c
所求齐次线性方程为
ay'''+ay''-ay'-ay=0, a为常数

追问

但答案为：y'''-6y''+11y'-6y=0

追答

y'''-6y''+11y'-6y=0
y3=3e^x
代入验证 特解y3不是该方程的解
如果y3=3e^(3x)
y3'=9e^(3x)
y3''=27e^(3x)
y3'''=81e^3x
81-6*27+11*9-6*3
=-81+99-18=0
因此满足y'''-6y''+11y'-6y=0第3个特解y3=3e^3x

Answer 2

y'''+y''-y'-y=0

追问

我算的和你一样，但答案为：y'''-6y''+11y'-6y=0