Question

设xy>=0,2x+y=6,求z=4x^2+3xy+y^2-6x-3y的最值

Answer 1

z=4x^2+3xy+y^2-6x-3y=(2x)^2+y^2+4xy-xy-3(2x+y)=(2x+y)^2-3(2x+y)-xy
=6^2-3*6-xy=18-xy
因为xy>0所以直线2x+y=6只能位于第一象限。
x：[0,3]；y：[0,6]
z=18-xy=18-x(6-2x)=2x^2-6x+18
对称轴为：x=1.5.故z的最小值为f(1.5)，最大值为f(0)=f(3)

Answer 2

由前两个条件知：0<=X<=3，y=2x-6
下面对z做整理
z=(4x^2+2xy+y^2)+xy-3(2x+y)=（2x+y)^2+xy-3(2x+y)将第一行的条件带入得
z=-2x^2+6x+18=-2(x-3/2)^2+45/2
当x=3/2时z取最大值45/2, x=0或3时z取最小值18