Question

数学高手进 看看这个问题应该怎么解啊 谢谢了

我有一个问题，麻烦帮我看看有没有什么方法可以解决。谢谢。
问题如下：
一群学员往篮筐中投篮，篮筐与学员的位置如下所示。
篮筐1 篮筐2 篮筐3 篮筐4 篮筐5
学员1 学员2 学员3 学员4 学员5 学员6 学员7 学员8 学员9 学员10

一开始，所有学员得分都是0分。
每一轮中，所有学员都朝指定的一个篮筐投一次球。如果投中，该学员得1分，投不中得0分（也不扣分）。学员能投中的概率跟该学员与该篮筐的距离成反比,而且这些概率都是已知和确定的。当某个学员的累积得分满了100分之后，他就停下来，不再继续投球了。
现在的问题就是要确定每一轮中，学员应该朝哪一个篮筐投篮。

举例：
第一轮，假设让所有学员朝篮筐1投篮一次。由于学员3跟篮筐1距离最近，那么学员3投中的概率最大（比如0.8），投中后，学员3得1分，投不中得0分；而学员10与篮筐1距离最远，只有很小的概率能投中（如0.1），投中后，学员10得1分，投不中得0分。
第二轮，假设让所有学员朝篮筐4投篮一次。由于学员7跟篮筐4距离最近，那么学员7投中的概率最大（比如0.9），投中后，学员7得1分，投不中得0分；而学员1与篮筐4距离最远，只有很小的概率能投中（如0.2）。

一直这样下去，直到所有学员累积得分都到100分。

现在我的问题有两个：
（1）决定每一轮应该让所有学员朝哪一个篮筐投球，用最少的轮数让所有学员都得到100分。也就是说，从一开始，到所有学员都得到100分，用的总轮数最少。
（2）决定每一轮应该让所有学员朝哪一个篮筐投球，让所有学员都得到100分时，平均每一个学员用的轮数最少。比如，从一开始到得100分，学员1可能用了200轮，学员2可能用了150轮，学员3可能用了130轮...。将10分学员用的总轮数加起来再除以10，就是每个人用的平均轮数。尽量让这个平均轮数最小。

麻烦帮我看看有没有什么方法可以解决，谢谢了

Answer 1

第一题：篮筐1与篮筐5交替投球

假如：123q4q5q6q7q890
1,2,3,4,5,6,7,8,9,0表示10名球员q表示篮筐，根据距离的远近确定概率

1号进球的概率分别为：p/3,p/4,p/5,p/6,p/7
2 号 ：p/2,p/3,p/4,p/5,p/6
3 p,p/2,p/3,p/4,p/5
4 p,p,p/2,p/3,p/4
5 p/2,p,p,p/2,p/3
6 p/3,p/2,p,p,p/2
7 p/4,p/3,p/2,p,p
8 p/5,p/4,p/3,p/2,p
9 p/6,p/5,p/4,p/3,p/2
10 p/7,p/6,p/5,p/4,p/3

由于对称性的考虑，可以把前后两轮合并在一起，也就是对于同一个篮筐，10与1相加与2+9与3+8,与4+7与5+6进行比较【譬如对于篮筐1的：
p/3+p/7<p/2+p/6
p/3+p/7<p+p/5
p/3+p/7<p+p/4
p/3+p/7<p/2+p/3

同理对于篮筐2，3,4,5也是10+1是最小的
因此10和1应该是最后到达100分的
不妨在对于10和1号进行分析
p/3+p/7>p/4+p/6
p/3+p/7>p/5+p/5
p/3+p/7>p/6+p/4

因此10号和1号能最先完成就是篮筐1和篮筐5进行交替投篮

本题的题意是最后完成的那个人完成的次数尽可能的少

2>
首先对于每个篮筐进行求期望可得篮筐3的期望最大，因此总轮数也最小，平均数也最小
但当到100/p次以后5和6到达100分，5,6将停止投篮现在可以把5,6的概率去掉只剩下8个
现在是篮筐2的期望最大，同理在投篮筐2进行50/p以后4号达到100次停止投篮再去掉4号
此时篮筐4的期望值最大，再投(100-50-50/3)/p后，7达到100分，停止投球，。。。。。。。。。篮筐1,。。。。。篮筐5

Answer 2

数学排列组合+概率

Answer 3

（1)3 (2)4

Answer 4

我靠，好难啊，我也不会啊

Answer 5

解：设学员3跟篮筐1距离为1，学员2跟篮筐1距离为2，学员1跟篮筐1距离为3，以此类推。
设学员3投中篮筐1的概率为：P，学员能投中的概率跟该学员与该篮筐的距离成反比，所以学员2投中篮筐1的概率为：P/2（数值可能不是准确的等于P/2，为了介绍方法，我们就认为它是反比例函数）。那么：学员1投中篮筐1的概率为：P/3，以此类推。
如果指定的篮筐1，其投中的数学期望为：P+P/2+P/2+P/3+P/3+P/4+P/5+P/6+/P/7+P/8
如果指定的篮筐2，其投中的数学期望为：P+P/2+P/2+P/3+P/3+P/4+P/4+P/5+P/6+/P/7
如果指定的篮筐3，其投中的数学期望为：P+P/2+P/2+P/3+P/3+P/4+P/4+P/5+P/5+/P/6
如果指定的篮筐4，其投中的数学期望为：P+P/2+P/2+P/3+P/3+P/4+P/4+P/5+P/5+/P/6
如果指定的篮筐5，其投中的数学期望为：P+P/2+P/2+P/3+P/3+P/4+P/4+P/5+P/6+/P/7
数学期望最高的是篮筐3和篮筐4，
那先指定篮筐3，最先达到100分的一般是学员5，学员5停下来。此时
如果指定的篮筐1，其投中的数学期望为：P+P/2+P/2+P/3+P/4+P/5+P/6+/P/7+P/8
如果指定的篮筐2，其投中的数学期望为：P+P/2+P/3+P/3+P/4+P/4+P/5+P/6+/P/7
如果指定的篮筐3，其投中的数学期望为：P/2+P/2+P/3+P/3+P/4+P/4+P/5+P/5+/P/6
如果指定的篮筐4，其投中的数学期望为：P+P/2+P/3+P/3+P/4+P/4+P/5+P/5+/P/6
如果指定的篮筐5，其投中的数学期望为：P+P/2+P/2+P/3+P/4+P/4+P/5+P/6+/P/7
数学期望最高的是篮筐5，
指定篮筐5，下面是投N次后每个学员投中的球数（概率数）：
学员1：（100/P）*P/5+PN/7
学员2：（100/P）*P/4+PN/6
学员3：（100/P）*P/3+PN/5
学员4：（100/P）*P/2+PN/4
学员6：（100/P）*P/2+PN/2
学员7：（100/P）*P/3+PN
学员8：（100/P）*P/4+PN/2
学员9：（100/P）*P/5+PN/3
学员10：（100/P）*P/6+PN/4
最先到100的是6号或7号。
然后以此类推。

疑问：比如先指定篮筐3会不会使两边的学员拉下太多球，从而使最后不得不让他们单独投球而浪费更多的轮？
答：不会，原因有1，如果只去寻球进球数的平衡，也是篮筐3最好，如果选篮筐1那学员10就会拉下更多球。2，第二轮算数学期望时，最大的是篮筐5，我认为最大数学期望是有平衡性的。
总之：每轮让学员投进球数更多才是硬道理。

追问

非常感谢你的用心回复。用你的这种贪心算法，我觉得解决的是我的第2个问题，也就是平均轮数最少。但是我一直没有办法证明这就是最优的。
还有就是对于第一个问题，我认为你这种算法应该不是最好的，原因就是你自己提出的那个疑问。我觉得你对你疑问的解释是不充分的。让学员交替投框1和框5应该是好过你的贪心算法的。
不知道你是不是这样认为？

追答

那么用特值做个比较，设学员3跟篮筐1距离为1，学员2跟篮筐1距离为2，学员1跟篮筐1距离为3，以此类推。
设学员3投中篮筐1的概率为：1，
学员2投中篮筐1的概率为：0.9
学员1投中篮筐1的概率为：0.8，以此类推。
学员3投中篮筐5的概率为：0.6，
学员2投中篮筐5的概率为：0.5
学员1投中篮筐5的概率为：0.4，以此类推。
让学员交替投框1和框5，
学员1概率和为：1.2，学员2概率和为：1.4，
学员3-7概率和都为：1.6，学员8概率和为：1.4，学员9概率和为：1.2，学员10概率和为：1.0，
除学员10外要用的轮数为：2*100*/1.2=167，这时间学员10进了167/1/2=84球，
然后，学员10投框5，16/0.7=23。共用190轮。
用我那个方法：
先投3号：
100轮后，
学员1 学员2 学员3 学员4 学员5 学员6 学员7 学员8 学员9 学员10
60 70 80 90 100 90 80 70 60 50
学员5停下来,
投4号（算期望）：
10轮后：
学员1 学员2 学员3 学员4 学员5 学员6 学员7 学员8 学员9 学员10
60+5 70+6 80+7 90+8 100 90+10 80+9 70+8 60+7 50+6
投5号（算期望）：
42轮后：
学员1 学员2 学员3 学员4 学员5 学员6 学员7 学员8 学员9 学员10
86.2 100 100 100 100 100 100 100 100 85.4
再投21轮5号,7轮1号。就完成了，共用100+10+42+21+5=179轮。

呵呵，你说我是“贪心算法”，是不错的，数学就是教我们怎么才能最大限度的贪心和偷懒，不是吗？
你所提的：证明这就是最优的，我目前还证不了，也许“每轮让学员投进球数更多”就是理论基础吧。

Answer 6

哪儿的题？是高二的选修吧