Question

函数f(x)=ax2+(2a-1)+1-a在【-1,3】有最大值4,求a

Answer 1

f(x)=ax^2+a=a(x^2+1)。而x^2+1在[-1,3]内最小值是1，最大值为10。
如果a>0，则函数有最大值10a，所以a=0.4；
如果a<0，则函数有最大值a，所以a=4（舍）；a=0也容易知道不可能
所以a=0.4

Answer 2

解：显然：a不等于0；
<i>当f(x)的图像开口向上时，f(x)的最值只能在x=-1和x=3处取到最值，经验算，当x=-1时取到最值，得出a<0,不符合；当x=3时取到最值，那么算出a=1/7，这时f(x)的对称轴x=5/2,此时f(-1)=12/7<4满足。
<ii>当f(x)的图像开口向下时，我们分析：对称轴x=(1-2a)/2a取到最值时，即：(1-2a)/2a=4，a=1/10,此时不符合题意；若f(x)在x=3处取到最大值，那么同理算出a=1/7不符合题意；若x=-1处取到最值，算出a=-1,这是对称轴x=3/2,不满足
即a=1/7

Answer 3

【题目应该是“函数f(x)=ax²+(2a-1)x+1-a在【-1,3】有最大值4,求a”吧】
【一楼与二楼的回答是不是都有点问题呢？
二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)，顶点式[-b/2a，(4ac-b²)/4a] 】

储备知识：对于二次函数y=ax²+bx+c (a＞0)，
当n≤x≤m时即在区间[n，m]内
1）若 m＜-b/2a 【直线x=-b/2a是二次函数y=ax²+bx+c的对称轴】
则 ymax=f(n)，ymin=f(m) 【min指最小值，max指最大值】
2）若 (n+m)/2≤-b/2a≤m
则ymax=f(n)，ymin=f(-b/2a)
3）若 n＜-b/2a＜(n+m)/2
则ymax=f(m)，ymin=f(-b/2a)
4）若n＞-b/2a
则ymax=f(m)，ymin=f(n)
（当a＜0时，结论正好相反）

即a＜0时
5）若 m＜-b/2a
则 ymax=f(m)，ymin=f(n)
6）若 (n+m)/2≤-b/2a≤m
则ymax=f(-b/2a)，ymin=f(n)
7）若 n＜-b/2a＜(n+m)/2
则ymax=f(-b/2a)，ymin=f(m)
8）若n＞-b/2a
则ymax=f(n)，ymin=f(m)

很显然，按照正向思路，是按照1）2）3）……8）共八种情况分类讨论，再判断所求出的a是否满足题意，确实很烦，但用逆向思维，考察上表，发现最大值只可能等于f(m)，f(n)，f(-b/2a)
又因为函数f(x)=ax²+(2a-1)x+1-a不是一次函数就是二次函数

所以只需让f(-1)，f(3)，f([1-2a]/2a)等于4，解得a后再判断是否符合题意

解：f(-1)=a-(2a-1)+(1-a)=-2a=4
a=-2＜0
此时函数f(x)=-2x²-5+3
对称轴：直线x=-5/4
根据上表第8条
可知n=-1应＞-5/4
符合题意

f(3)=9a+3(2a-1)+1-a=14a-2=4
a=3/7＞0
此时函数 f(x)=(3/7)x²-(1/7)x+4/7
对称轴：直线x=1/6
根据上表第3,4条
可知 1/6=–b/2a应＜(-1+3)/2=1
符合题意

f([1-2a]/2a)=【4a(1-a)-(2a-1)²】/4a=(-8a²+8a-1)/4a=4 【就是顶点坐标的纵坐标，shihao2007100你可搞错啦，不是横坐标】

8a²+8a+1=0
a1=(-2-√2)/4＜0，a2=(-2+√2)/4＜0

①当a=(-2-√2)/4时，【实际上只需关注对称轴x=-b/2a即可，无需求出解析式】
对称轴为直线x=【1-[(-2-√2)/2]】/【(-2-√2)/2】
x=-(4+√2)/(2+√2)
=-(4+√2)(2-√2)/2
=-(6-2√2)/2
=-3+√2
根据上表第6，7条
则应 -1≤-b/2a=-3+√2≤3
不符合题意

②当a=(-2+√2)/4时，
对称轴为直线x=【1-[(-2+√2)/2]】/【(-2+√2)/2】
x=-(4-√2) / (2-√2)
=-(4-√2)(2+√2) / 2
=-(6+2√2)/2
=-3-√2
根据上表第6，7条
则应 -1≤-b/2a=-3-√2≤3
不符合题意

综上所述，满足条件的a为-2或3/7

【希望对你有帮助】