Question

已知函数f(x),当x,y属于R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). 如果x>0时，f(x)<0,并且f(1)=-1/2

试求f(x)在区间[-2,6]上的最值

Answer 1

任取实数t，且t>0
则f(x+t)=f(x)+f(t)
因为t>0, 故f(t)<0
所以f(x+t)<f(x)
故而f(x)在定义域上单调减
因此在x=6处有最小值为f(6)=-3，在x=-2处有最大值
又f(x+0)=f(x)+f(0), 故f(0)=0
因此0=f(0)=f(x+-x)=f(x)+f(-x)，故f(x)=-f(-x)，f(x)为定义域上奇函数，f(-2)=-f(2)=1

综上，f(x)在x=6处有最小值为f(6)=-3，在x=-2处有最大值f(-2)=1