Question

如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,AB=a,AB与α、β所成的角分别是θ1和θ2,

如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,AB=a,AB与α、β所成的角分别是θ1和θ2,求点A、B在l上的射影A′、B′间的距离。
请给出具体过程

Answer 1

解：因为点A、B在l上的射影是A′、B′
所以AA'⊥l,BB'⊥l
又α⊥β,α∩β=l，AA'在平面α内，BB'在平面β内
所以由面面垂直的性质定理可知：
AA'⊥β,BB'⊥α
所以AB在平面α、β内的射影分别是AB'、BA'
即∠BAB'是AB与平面α的所成角；∠ABA'是AB与平面β的所成角
则∠BAB'＝θ1，∠ABA'＝θ2
因为AB=a,所以：
在Rt△BAB'中，cos∠BAB'＝AB'/AB,则AB'=AB*cos∠BAB'=acosθ1
在Rt△ABA'中，sin∠ABA'＝AA'/AB,则AA'=AB*sin∠ABA'=asinθ2
则在Rt△AA'B'中，由勾股定理得：
A'B'=√(AB'²-AA'²)=a√(cos²θ1-sin²θ2)