Question

如图，已知bd为∠abc的角平分线，cd为△abc的外角∠acf的角平分线，且cd与bd交于点d。试证明：∠a=2∠d

Answer 1

∵∠DCE＝1/2∠ACE(已知）
又∵∠DCE＝1/2ABC＋∠D （三角形的外角等于它不相邻的两个内角和）
∴1/2∠ACE＝1/2ABC＋∠D （等量代换）
1/2∠ACE－1/2ABC＝∠D(移项)
∵∠ACE＝∠ABC＋∠A（三角形的外角等于它不相邻的两个内角和）
1/2∠ACE＝1/2∠ABC＋1/2∠A(两边乘以1/2)
1/2∠ACE－1/2∠ABC＝1/2∠A（移项）
∴∠D＝1/2∠A（等量代换）
即∠A=∠D

Answer 2

已知△ABC，（1）如图，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=；
（2）如图，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°-∠A；

（3）如图，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=．

其中结论一定正确的序号数是（1）（3）
（1）（3）
．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和外角之间的关系计算．解答：解：（1）正确；
（2）∵∠A=∠ACE-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC）
∠P=∠PCE-∠PBC
∴2∠P=∠A
故（2）的结论是错误．
（3）正确．
故填（1）（3）．点评：主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐 过M作AC的平行线，过A作BC的平行线，两线交于Q。连结NQ。QM与BN交于S。
容易知道∠AQN=∠BQN=45,∴∠BQN=90º=∠MQA,
又AQ:QN=QM:QB,
∴△QAM∽△QNB,
∴∠AMQ=NBQ,
又∠PSM=∠QSB,
∴根据三角形内角和等于180，得
∠MPS=∠BQS，
∵∠BQS=45,
∴∠BPM=∠MPS=∠BQS=45°，

参考:

证法一（初中知识证法）：
证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。
设AC=BM=X，MC=AN=Y，则
BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y
AM=√（AC^2+MC^2）=√（X^2+Y^2）

过N点作NE⊥AM，交AM于E点，则△AEN∽△ACB
AE/AN=AC/AM，NE/AN=MC/AM
AE=AN*AC/AM=Y*X/√（X^2+Y^2）
NE=AN*MC/AM=Y^2/√（X^2+Y^2）

过P点作PF⊥BC，交BC于F点，则△PFM∽△ACM，△BPF∽△BNC
PF/FM=AC/MC，PF=FM*AC/MC=FM*X/Y
PF/BF=CN/BC，PF=BF*CN/BC=BF*（X-Y）/（X+Y）

BF*（X-Y）/（X+Y）=FM*X/Y
BF=（FM*X/Y）*[（X+Y）/（X-Y）]=FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]
BF=BM+FM=X+FM
FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]=X+FM
FM=XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）

PM/FM=AM/CM
PM=FM*AM/MC=[XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）]*[√（X^2+Y^2）/Y]
=X*（X-Y）/√（X^2+Y^2）

PE=AM-AE-PM
=√（X^2+Y^2）-Y*X/√（X^2+Y^2）-X*（X-Y）/√（X^2+Y^2）
=Y^2/√（X^2+Y^2）
=NE
因为NE⊥AM，即NE⊥PE
可知在直角△NEP中，NE=PE
故 ∠EPN=45°
但∠BPM=∠EPN
所以∠BPM=45°

证法二：
证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。
设AC=BM=X，MC=AN=Y，则
BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y
tan∠AMC=AC/MC=X/Y
tan∠NBC=CN/BC=（X-Y）/（X+Y）
∠AMC=∠BPM+∠NBC
∠BPM=∠AMC-∠NBC
tan∠BPM=tan（∠AMC-∠NBC）
=（tan∠AMC-tan∠NBC）/（1+tan∠AMC*tan∠NBC）
=[X/Y-（X-Y）/（X+Y）]/[1+（X/Y）*（X-Y）/（X+Y）]
=[X*（X+Y）-Y*（X-Y）]/[Y*（X+Y）+X*（X-Y）]
=（X ^2+Y ^2）/（X ^2+Y ^2）
=1
因为∠BPM<180°
所以∠BPM=45°

Answer 3

因为bd为∠abc的角平分线，所以∠abd=∠dbc=1/2∠abc
cd为△abc的外角∠acf的角平分线，
所以：∠acd=∠dce=1/2∠ace

∠a+∠abc=∠ace
∠d+∠dbc=∠d+1/2∠abc=∠dce=1/2∠ace
2∠d+∠abc=∠ace
所以∠a=2∠d

Answer 4

设∠abd=∠dbc=∠1,
因为∠a+2∠1=∠ace
∠1+∠d=∠ace/2
所以联立两世可得：∠a=2∠d

Answer 5

解答：设∠ABD=α，则∠DBE=α，设∠ACD=β，则∠DCE=β，由外角定理得：①2β=2α＋∠A，②β=α＋∠D，∴②×2－①得：∠A=2∠D