Question

一道数列压轴题

已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足an^2=S(2n-1)（n∈N+），令bn=1/(an*an+1)，Tn为数列{bn}的前n项和.
（1）求a1、d和Tn；
（2）若对任意的n∈N+，不等式kTn＜n+8*（-1）^n恒成立，求实数k的取值范围；
（3）是否存在正整数m、n（1＜m＜n），使得T1、Tm、Tn成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

最佳答案 (1) 由题意可得
S(2n-1)=(a1+a(2n-1))*(2n-1)/2=an*(2n-1)
∵an^2=S(2n-1) ，an＞0
∴an=2n-1
∵bn=1/(an*an+1)
∴bn=1/(2n-1)(2(n+1))=1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))
Tn=b1+b2+....bn=1/2(1-1/3+1/3-1/5.....+1/(2n-1)-1/(2n+1))=n/(2n+1)
(2)由题可得
T1=1/3，Tm=m/(2m+1),Tn=n/(2n+1)
∵T1,Tm,Tn 成等比数列
∴T1*Tn=(Tm)^2即n/3(2n+1)=(m/(2m+1))^2
整理得2nm^2-4mn-n+3m^2=0
∴n=3m^2/(1+4m-2m^2)=3m^2/(-2(m-1)^2+3)
∵m,n∈N* 1＜m＜n
∴m=2,n=12时 符合要求。
∴存在n,m使T1,Tm,Tn成等比数列且m=2,n=12时成立

6回答时间：2011-5-5 23:08 | 我来评论

向TA求助 回答者： 465731583

Answer 2

(1) a1=1，d=2，Tn=n/(2n+1)
(2) k<-17