Question

在四棱锥P-ABCD中，PD垂直底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点 。

（1）求证EF垂直CD（不用写，我已证出）（2）求二面角A-PB-C的大小（3）在直线AD上是否存在一点G，使GF垂直平面PCB，若存在求出该点，若不存在说明理由

Answer 1

这种是送分题，已经难度很低了！我在此略做提示：
（2）法一（文）：取PC PA中点分别为M点N点利用等腰三角形三线合一和 证明BC，AB分别垂直于面PDC和面PDA 可得DM.DN分别垂直于所求面。求BM和BN的夹角用180减一下即为所求角
答案我算的是120°不知道对不！
理科方法是用空间直角坐标系和空间向量来做的太烦了，这么简单的题不推荐！
（3）就更简单了
我提示你，G为AD中点
做一个平行四边形DGFM再仔细看看我不能什么都告诉你，你完全可以看出来！
有什么不懂再追

追问

睡了吗

Answer 2

(2)做AM垂直PB交PB于点M，连接MC
因为PD=DC，PD垂直底面ABCD,设正方形边长a
易得PA=PC=√2a
且三角形PAB与三角形PAC全等
所以AM垂直PB，MC垂直PB
即角AMC为所求角度
因为三角形PAB为直角三角形
AM为边长的高
所以根据相似
AM=√2a/√3=MC
在三角形AMC中
根据余弦定理
AC^2=AM^2+MC^2+2*AM*MC*cos角AMC
即2a^2=2a^2/3+2a^2/3+2*2a^2/3cos角AMC
cos角AMC=-1/2
角AMC=120°
(3)存在 设G为AD中点
连接AC,BD交于点O，连接OF,PG,CG,FG
因为易证PG=GC
所以三角形PGC为等腰三角形，且PF=FB
根据等腰三角形三线合一
FG垂直PB, ............ (1)
因为O为DB中点
所以FO为三角形PDB中位线
所以FO垂直底面ABCD，即FO垂直CB
因为易得CB垂直GO
所以CB垂直平面GOF
即CB垂直GF . ........... (2)

所以GF垂直平面PCB

Answer 3

（2）分别以DA、DC、DP为x、y、z轴建立空间直角坐标系。
设AB=2，
则向量CB=（2.0.0），向量AB=（0.2.0）,向量PB=(2.2.-2)
设向量m.n分别为平面PAB、平面PCB的一个法向量（垂直于平面的向量）。
则向量m=（-1.0.-1），向量n=(0.1.1)，
所以cos<m,n>=-1/2，
所以二面角A-PB-C的余弦值=-1/2
所以二面角A-PB-C=135度。
(3) 假设存在
可设G（a.0.0）
由（2）可得：F（1.1.1）
所以向量GF=（1-a.1.1）
因为向量GF垂直于平面PCB
所以向量GF//向量n
x/y=（1-a）/1=0/1
所以1-a=0
所以a=1
所以G(1.0.0) 即G为AB中点

Answer 4

我也不会也