Question

高分！急！高一数学问题！大家帮忙！谢谢！

为什么在空间直角坐标系中任意一个三元一次方程都表示一个平面？请给出证明过程，谢谢~
我是刚刚学习高一上学期空间直角坐标系，请只用数学必修1和2的内容证明，向量之类的我都还没学呢，拜托了~
就算可以表示点，但如果有些点不在一个平面内怎么办？？

Answer 1

任意一个三元一次方程
Ax+By+Cz=D， ABCD常数
Ax+By=D-Cz
包含了一组直线l:Ax+By=E l':D-Cz=E E任意常数
l和l' 两条直线决定一个平面
因此Ax+By=D-Cz表示了一个平面
即Ax+By+Cz=D表示一个平面

Answer 2

Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为零)才是任意平面
这要用高等数学知识来解释
有没有想过，平面直角坐标系中，Ax+By+C=0(A,B不同时为零)为什么能表示任意直线？

斜率你懂吧？就是一次函数中的k，也是Ax+By+C=0中的-A/B
直线：假定斜率存在(B≠0)，当x的变化量为Δx时，y的变化量始终是kΔx，所以图像是直的。
斜率不存在时(B=0)，图像平行于y轴，自然也是直线。

平面：这个嘛，不太好解释。
C不为零时，z是x,y的函数，也就是说，在xOy平面上的任意一点(x,y)所对的z值是唯一的
此时(x,y)在xOy平面上往某一方向变化时，z的变化量与(x,y)的变化量仍总成正比，所以图像是平面。
C=0时，图像平行于z轴，自然也是平面。

这个思想是微分的思想，把函数细化到微观角度进行观察研究的方法。

我又想到一个证法，向量法
点法向量式方程

直线：平面内有已知非零向量n=(u,v)，过已知点P(x0,y0)作向量n的垂线，是存在且唯一的
对于直线上的点M(x,y)，有向量PM⊥向量n，用向量的数量积的相关知识可知
(x-x0,y-y0)·(u,v)=0
u(x-x0)+v(y-y0)=0
ux+vy-(ux0+vy0)=0
这显然是任意二元方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)的形式

同理，推广至空间
在空间内的已知非零向量n=(u,v,w)，过点P(x0,y0,z0)作向量n的垂面是存在且唯一的
对于该平面上的点M，有向量PM⊥向量n
即(x-x0,y-y0,z-z0)·(u,v,w)=0
整理得
ux+vy+wz-(ux0+vy0+wz0)=0
这显然是任意三元方程Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为零)的形式

Answer 3

你应该知道“三点确定一个平面吧”！
Ax+By+Cz=D就表示一个平面，而xyz就是这个平面里面任意的3点
你所说的空间直角坐标系是表示一个空间，空间包含于平面

Answer 4

因为会有解啊，三元一次方程都可以配方出几个二次的，解出x.y.z就可以在空间直角坐标系中用坐标表示点进而表示平面啊

追问

那如果表示的点有些不在一个平面内呢？？