Question

高中立体几何问题 几个球的问题

现有3个球：第一个球内切于正方体的六个面
第二个球与这个正方体的各条棱相切
第三个球过这个正方体的各个顶点
求这三个球的表面积之比（都是同一个正方体）
我知道这三个球的区别在哪里，但是不知道怎么求他们的半径。
解答的朋友们最好附上图，图画的好的或没图但说的清楚的，可以加分

Answer 1

只需求出三个球的半径之比，再将半径之比平方即可得表面积之比（球的表面积=4兀R²，4兀约掉了）设正方体的边长为1
则易知第一个球的半径为正方体中心到其表面的距离，为1/2；
第二个球的半径为正方体中心到正方体棱的距离，由勾股定理可得：距离=
√[(1/2)²+(1/2)²]=√2 /2
第三个球的半径为正方体中心到顶点的距离，为正方体体对角线的一半，体对角线长为 √（1²+1²+1²)=√3，则球的半径为√3 /2
三个球的半径之比为 1/2:√2 /2:√3 /2
则表面积之比为 1/4:1/2:3/4 即 1:2:3

Answer 2

第一个球半径是棱的一半a/2

第三个直径是棱的斜对角线半径根号3a/2
第2个球心是体心，有一个截圆面离球心是a/2这个截圆的外界正方形是a边长的
所以半径根号二a
表面积之比1比2比3

Answer 3

设正方体边长为a，第一个：R1=a/2
第二个：把球和正方体压扁，就相当于一个圆外切一个正方形，∴R2=根号2/2a
第三个：∵过正方体各顶点，所以正方体内最长的一段距离是球的直径，R3=根号3/2a

Answer 4

设正方体棱长2a，
第一个球半径为a
第二个球包含六个面中正方形的内切圆，半径根号2 a
第三个球是正方体的外接球，半径为根号3 a
表面积之比为半径比的平方，故比为1：2：3