Question

如图所示，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡的总长度a，边坡的倾斜角是60°。

1.求横断面积y与上底宽x的函数关系式，并求定义域（上底在下面，倒置的梯形）
2.当a/4<=x<=a/2时，求横断面面积的最大及最小值

Answer 1

1、梯形的高h=(a-x)/2*sin60=√3(a-x)/4
梯形的下底=x+(a-x)/2*cos60=3/4x+a/4
y=1/2(x+3/4x+a/4)*[√3(a-x)/4]
y=√3(-7x²+6ax+a²)/32 0<x<a
2、y=7√3/32*[-(x-3a/7)²+16a²/49]
画出函数图像，从中可以看出
x=a/4时，y有最小值，
ymin=√3[-7(a/4)²+6a*a/4+a²)/32=33√3/512
x=3a/7时，y有最大值，
ymax=7√3/32*[-(3a/7-3a/7)²+16a²/49]=√3a²/14