Question

已知圆C的方程x^2+y^2-2x-4y+m=0(m属于R）

已知圆C的方程x^2+y^2-2x-4y+m=0(m属于R）（1）求m的取值范围；（2）若圆C与直线x+2y-4=0相交于M,N两点，且OM垂直于ON（O为坐标原点），求m的值；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程。

Answer 1

解：
（1）x²＋y²－2x－4y＋m＝0
x²－2x＋1＋y²－4y＋4＋m－1－4＝0
(x－1)²＋(y－2)²＝5－m
∵上式为圆的方程
∴5－m＞0
m＜5
答：m的取值范围是(﹣∞,5)。
（2）
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则向量OM＝(x1,y1)，ON＝(x2,y2)
∵OM⊥ON
∴OM·ON＝x1x2＋y1y2＝0
联立圆与直线的方程，则(x1,y1)，(x2,y2)为两组解
x1＝4－2y1，x2＝4－2y2
∴x1x2＋y1y2＝(4－2y1)(4－2y2)＋y1y2＝5y1y2－2(y1＋y2)＋16＝0
又(4－2y)²＋y²－2(4－2y)－4y＋m＝0
5y²－16y＋m＋8＝0
根据韦达定理，有：y1＋y2＝8/5，y1y2＝(m＋8)/5
代入，得：m＋8－16/5＋16＝0
m＝﹣104/5
答：m的值为﹣104/5。
（3）设该圆的方程为(x－x0)²＋(y－y0)²＝r²
∵M、N在圆C上
∴|OM|²＝|ON|²＝5－m＝129/5
∵OM⊥ON
∴|MN|²＝|OM|²＋|ON|²＝258/5
∴r²＝|MN|²/4＝129/10
∵(x0,y0)为MN中点
∴x0＝(x1＋x2)/2＝(4－2y1＋4－2y2)/2＝2－(y1＋y2)＝2/5
y0＝(y1＋y2)/2＝4/5
答：所求圆的方程为(x－2/5)²＋(y－4/5)²＝129/10。

Answer 2

x^2+y^2-2x-4y+m=(x-1)^2+(y-2)^2=5-m>=0 m<=5
(2)M(x1,y1),N(x2,y2) 联立解 x1x2+y1y2=0 x1+2y1-4=0 x2+2y2-4=0 x^2+y^2-2x-4y+m=0
(3)(x-x1/2-x2/2)^2+(y-y1/2-y2/2)^2=(x1-x2)^2/4+(y1-y2)^2/4
你自己解下吧

Answer 3

解：(1)曲线C方程化为(x-1)²+(y-2)²=5-m
显然当5-m>0，即m<5时曲线C是圆。
(2)设M，N坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，
把x+2y-4=0，即y=2-(x/2)代入圆C方程，得
x²+(2-x/2)²-2x-4(2-x/2)+m=0，整理得
5x²-8x+4(m-4)=0
该方程有实根，即Δ=(-8)²-4*5*4(m-4)=-16(5m-24)>0
解得m<4.8
由韦达定理得x1+x2=8/5,x1x2=4(m-4)/5
由OM⊥ON，得(x1,y1)*(x2,y2)=0(向量OM与向量ON内积为0)，即
x1x2+y1y2=0，而
y1y2=(2-x1/2)(2-x2/2)=4-(x1+x2)+x1x2/4
=4-8/5+(m-4)/5=(m+8)/5，故
x1x2+y1y2=4(m-4)/5+(m+8)/5=(5m-8)/5=0
解得m=1.6<4.8，故m的值为1.6。
(3)以MN为直径，且OM⊥ON，故所求圆过原点。
M，N中点O`坐标：((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，即(4/5,2-(4/5)/2)
亦即(4/5,8/5)，此即为所求圆的圆心，O`O即为半径。
O`O²=(4/5-0)²+(8/5-0)²=16/5
故以MN为直径圆的方程为(x-4/5)²+(y-8/5)²=16/5

Answer 4

解：(1)圆C方程化为(x-1)²+(y-2)²=5-m
显然当5-m>0，即m<5时曲线C是圆。
(2)设M，N坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，
把x+2y-4=0，即y=2-(x/2)代入圆C方程，得
x²+(2-x/2)²-2x-4(2-x/2)+m=0，整理得
5x²-8x+4(m-4)=0
该方程有实根，即Δ=(-8)²-4*5*4(m-4)=-16(5m-24)>0
解得m<4.8
由韦达定理得x1+x2=8/5,x1x2=4(m-4)/5
由OM⊥ON，得(x1,y1)*(x2,y2)=0(向量OM与向量ON内积为0)，即
x1x2+y1y2=0，而
y1y2=(2-x1/2)(2-x2/2)=4-(x1+x2)+x1x2/4
=4-8/5+(m-4)/5=(m+8)/5，故
x1x2+y1y2=4(m-4)/5+(m+8)/5=(5m-8)/5=0
解得m=1.6<4.8，故m的值为1.6。
(3)以MN为直径，且OM⊥ON，故所求圆过原点。
M，N中点O`坐标：((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，即(4/5,2-(4/5)/2)
亦即(4/5,8/5)，此即为所求圆的圆心，O`O即为半径。
O`O²=(4/5-0)²+(8/5-0)²=16/5
故以MN为直径圆的方程为(x-4/5)²+(y-8/5)²=16/5

Answer 5

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