Question

（1）.f(x)=-(sinx)^2+sinx+a, 若1≤f(x)≥17/4，对一切x属于R恒成立，求实数a的取值范围

（2）.f(x)=sin(wx+φ ),w>0,0≤φ ≥π（pai)，f(x)是R上的偶函数，关于点M（3π/4，0）对称，在[0,π/2]单调，求φ ,w的值

Answer 1

楼上第二题，有点问题，w=1，f(x)=sin(x+π/2)，f(3π/4)=f(3π/4 + π/2)≠0了……

1.是1≤f(x)≤17/4吧？
f(x)= -sin²x+sinx+a
令sinx=t，-1≤t≤1
g(t)=-t²+t+a= -(t - 1/2)²+a+1/4
∴g(t)的值域为[g(-1)，g(1/2)]，即：[a-2，a+1/4]
∴f(x)=值域为[a-2，a+1/4]
∴[a-2，a+1/4]包含于[1，17/4]
∴a-2≥1，a+1/4≤17/4
∴3≤a≤4

2.是0≤φ≤π吧？？？
∵f(x)是R上的偶函数
∴f(x)=f(-x)对于任意x∈R都成立
即：sin(wx+φ)=sin(-wx+φ)
∴sinwxcosφ+sinφcoswx= -sinwxcosφ+sinφcoswx
即2sinwxcosφ= 0，对任意x恒成立
∴cosφ=0
∵0≤φ≤π
∴φ=π/2

∵ f(x)图像关于点M（3π/4，0）对称
∴M（3π/4，0）是一个零点，即f(3π/4)=0
∴w×(3π/4)+π/2 =kπ，k∈Z
∴w=(4k-2)/3，k∈Z…………①
∵单调区间的长度 ≤ 半个最小正周期 (随便画个图吧，让你理解才这样写的)
即π/2≤T/2
即T=2π/w≥ 2×(π/2)=π
∴0＜w≤2…………②
由①②得
w=2或2/3

Answer 2

f(x)=sin²x＋sinx＋a
=(sinx＋1/2)²＋[a－1/4]
f(x)的最大值是当sinx=1时取得的，是a＋2，最小值是当sinx=－1/2时取得的，是a＋1/4，则：
a＋2≤17/4且a＋1/4≥1，得：3/4≤a≤5/4

Answer 3

( 1 ) 令t=Sin X , 对一切x属于R恒成立, -1<=t<=1
则 f (x)= - t ^2+t+a ,1<=f(x)<=17/4
即 1+ t ^2 - t<=a<=17/4 + t ^2 - t 对一切 -1<=t<=1 恒成立
不等式左边 1+ t ^2 - t 在-1<=t<=1的范围是[3/4,3]
a大于左边的所有值，即大于左边的最大值：3<=a
同理 不等式右边 17/4 + t ^2 - t 在-1<=t<=1的范围是[4,25/4]
a小于右边的所有值，即小于右边的最小值：a<=4
综上有：3<=a<=4

( 2 ) f(x)=sin(wx+φ ) 是R上的偶函数，即f(0)=+ - 1
即 φ = π/2 +k*π , k为整数
0≤φ ≥π ， 所以 φ= π/2 , f (0)=1
又 f(x)=sin(wx+φ ) 关于点M（3π/4，0）对称 , 所以Sin( 3π/4*w + φ )=0
3π/4*w + φ = k*π , k为整数
又 f(x)=sin(wx+φ ) 在[0,π/2]单调
因为 f (0)=1 , 所以 f(x)=sin(wx+φ )在 x=0 右侧单调递减
当 x= π/2 , wx+φ <= 3π/2 (将 wx+φ 视为整体，画出 Sinx图像即可理解）
w>0 , 3π/4*w + φ = k*π 所以有 k= 1, w=2/3 ; k=2 , w=2
所以有 φ= π/2 w= 2/3 或 2

希望能帮到你！
答了这么多，给我点分吧！