Question

利用空间法向量求二面角具体方法

Answer 1

如果已经求得各点坐标，能够建系，就用“法向量法”，所谓法向量，是指垂直于一个平面的直线，根据向量可在平面内任意平移，我们可以知道，一个平面的法向量有无数多条。

关于二面角的性质为：

(1)同一二面角的任意两个平面角相等，较大二面角的平面角较大。

(2)两个二面角的和或差所对应的平面角，是原来两个二面角所对应的平面角的和或差。

(3)二面角可以平分，且平分面是唯一的。

(4)对棱二面角相等。

几何法作出二面角的平面角：

A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；

B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；

C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；

D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。

以上内容参考：百度百科-二面角

Answer 2

当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则其夹角为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个向外时，则其夹角为二面角的平面角。

作出两向量的法向量，求其余弦值(加绝对值），若二面角为锐角，则法向量夹角的余弦值为二面角的余弦值；若二面角为钝角，则二面角的余弦值为法向量余弦值的相反数，之后根据余弦值求夹角。

关于二面角的性质为：

(1)同一二面角的任意两个平面角相等，较大二面角的平面角较大。

(2)两个二面角的和或差所对应的平面角，是原来两个二面角所对应的平面角的和或差。

(3)二面角可以平分，且平分面是唯一的。

(4)对棱二面角相等。

以上内容参考：百度百科-二面角

Answer 3

如果已经求得各点坐标，或者说我们说的，能够建系，
就用“法向量法”，所谓法向量，是指垂直于一个平面的直线，
根据向量可在平面内任意平移，我们可以知道，一个平面的法向量有无数多条。
以上是理论知识简介，因不知道你懂不，所以只得在此阐述下，
不然可能会对下面的问题的理解不透产生障碍。
具体做法：
1. 设分别设出两个平面的法向量，n1=(x1, y1, z1); n2=(x2, y2, z2)
2. 求出平面内线段所在直线的向量式（每个平面求出两个向量）
3. 利用法向量垂直平面，即垂直平面内所有直线，建立方程组（3元一次方程组，仅两个方程）
（1）建立的条件是，两个相互垂直的向量，乘积为0
（2）由于法向量有3个未知数，我们通常只用建立两个方程组成的方程组。这样可以得到关于这三个未知数的代数关系。而不是像初中的解三元一次方程组，可以解出一组唯一解。换句话说，由于各未知数间是满足一定的代数关系，那么立体几何中，依此法得出的应该是无数对解。不过，实际解题中，都是通过赋值法（见下详述）来得到唯一的一组解，即一个确定的法向量。
（3）赋值：即是赋予法向量的三个未知数中的某一个一个确实的代数值，比如0？1？等常实数，从而根据垂直向量数量积为0建立的方程中，得到的未知数之间的关系，就可以求出其他的两个未知数的具体的值。那么，这样得到的一个法向量，就是垂直于平面的一条法向量（仅是一条哈，因为平面法向量有无数条的）
PS：两条法向量的求法，都一致。
4. 我们根据异面直线所成的角的求法（平移其中一条或者两条到同一平面中，必须放到平面中来求的，对吧！！！），可以知道，两个平面的任意法向量所成的角，都相等。
而两个半平面所成的二面角，与他们的法向量所成的角的平面角“互补”（千万注意此点，因为异面直线所在的角，一定是锐角或者直角，不可能是钝角；但是二面角，是可以为锐二面角或直二面角，也可以为钝二面角的）。
依据上面的理论依据，由向量的乘法，则可求出cos<n1, n2>的绝对值（请最好加绝对值符号，异面直线所成的角，不能为钝角，因此余弦值不能为负，但向量方向不同，则可能求出的余弦值为负）。
5. 判断范围，注意取值。
上面，求cos<n1, n2>的值时，请提前判断题目让所求两个半平面所成的角（1）是锐角或直角？即我们所说的锐二面角还是直二面角。（2）是钝二面角吗？
因为，根据向量的方向性，可以知道，如果向量所取的方向不同，cos<n1, n2>的绝对值不变，但可能得到两个互为相反数的值，所以在利用法向量法求两个二面角的平面角时，先判断二面角的取值范围。锐二面或直，显然，直接取cos<n1, n2>=A(0≤A<1)的值，进行反余（arccosA）表示即可; 如果图上明显为钝二面角，则所求二面角的平面角应该表示为：∏-arccosA.（A为法向量所成角的余弦值，取绝对值）

我尽可能说地详细清楚，包括细节，请细体味！
Hope you study well and make progress everyday!
有不明白的地方请追求问题即可！

Answer 4

当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则其夹角为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个向外时，则其夹角为二面角的平面角，如图所示：

Answer 5

建系， 在要求的2个面内分别找2个不平行的向量（数值简单点的）， 用向量积为0求出2个面的法向量， 然后用公式得到向量角，自己感觉是钝角还是锐角， 然后确定二面角