Question

谁有向量与数的乘积的分配率的证明？

Answer 1

假设a是数，A，B是向量，A=（A1，A2，...，An），B=（B1，B2，...，Bn），
按照向量与数的乘法运算以及向量与向量的加法运算的定义，证明如下：
a（A+B）=a（A1+B1，A2+B2，...，An+Bn）
=（a(A1+B1)，a(A2+B2)，...，a(An+Bn））
=（aA1+aB1，aA2+aB2，...，aAn+aBn）
=（aA1，aA2，...，aAn）+（aB1，aB2，...，aBn）
=a（A1，A2，...，An）+a（B1，B2，...，Bn）
=aA+aB 证毕。

追问

你的证明已经用到向量的坐标分解式了，可是同济六高数下在讲到分配率的时候，还没有讲向量在直角坐标空间的分解式；它要求用向量与数乘的规定来证明。利用向量相加的平行四边形法则以及中学解析几何【相似三角形各边对应成比例】可以证明。我想知道还有没有其他方法，或者这个证明的标准证明法。

追答

分三种情况证明：（1）a=0，明显成立。（2）a0同理可证。（3）a>0：
记向量A的始点为o，终点为A1；向量B的始点为o，终点为B1；
记向量aA的始点为o，终点为A2；向量B的始点为o，终点为B2；
记向量A+B=C，C的始点为o，终点为C1；向量aC的始点为o，终点为C21，
利用向量与数乘的规定，成立∣aA∣/∣A∣=a；∣aB∣/∣B∣=a；∣aC∣/∣C∣=a，（当A=O或B=O或C=O的特殊情况，明显成立）
由此可知⊿oA1B1∽⊿oA2B2；⊿oA1C1∽⊿oA2C2；2⊿oB1C1∽⊿oB2C2，
注意到证明a（A+B）=aA+aB 是要证明等式两边的两个向量相等，这只需要两个向量的模相等并且方向相同，
利用以上三角形的相似关系便可推出。