Question

设L为上半圆周y=(1-x^2)^(1/2)，则f(x^2﹢y^2﹚ds=

Answer 1

设L为上半圆周y = √(1 - x²)，则 ∫(x²﹢y²) ds =

第一类曲线积分要注意两点：
一是被积函数f(x，y)是定义在曲线L上的，所以要把曲线L的参数方程代入被积函数中；
二是弧微分ds>0，所以把第一类曲线积分化为定积分计算时，上限必须大于下限，这里的α(β)可能是点A(或B)对应的参数，也可能是点B(或A)对应的参数．

解：由于上半圆周的参数方程为 x = cost，y = sint (0≤t≤π)
所以
原积分 = ∫(x²﹢y²) ds ds = √(x'² + y'²) dt = √(cos²t + sin²t) dt = dt
= ∫(cos²t + sin²t) √(x'² + y'²)dt
= ∫ 1 dt
= π