Question

已知函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)满足f(0)=0,对于任意x∈R都有f(x)≧x,且f(-1／2+x)=f(-1／2－x),令

g(x)=f(x)－|λx－1|(λ〉0)
(1）求函数f(x)的表达式
（2）求函数g(x)的单调区间
（3）研究1函数g(x)在区间（0,1）上的零点个数
(要详细的过程哦，谢谢啦O(∩_∩)O）

Answer 1

已知函数f(x)=ax²+bx+c （a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，且f(-1/2+x)=f(-1/2-x)，令g(x)=f(x)－|λx－1| （λ>0）
（1）求函数f(x)的表达式；
（2）求函数g(x)的单调区间；
（3）研究函数g(x)在区间 (0, 1)上的零点个数。

解：
（1）因为f(0)=0，所以c=0.
因为f(-1/2+x)=f(-1/2－x)对任意x∈R成立，对称轴为-1/2，
即-b/(2a)=-1/2，a=b。
设h(x)=f(x)-x，则h(x)=a*x^2+(b-1)x
f(x)≥x恒成立，即h(x)≥0恒成立，从而h(x)的判别式Δ≤0，即(b-1)^2≤0，所以b=1.
故f(x)=x^2+x。

（2）令|λx－1|=0得：x=1/λ。因为λ>0，所以1/λ>0>-(1+λ)/2。
当x<1/λ时，
g(x)=f(x)+(λx－1)=x^2+(1+λ)x-1=[x+(1+λ)/2]^2-1-(1+λ)^2/4；
所以，g(x)在区间(-∞, -(1+λ)/2]内单调递减；在区间(-(1+λ)/2, 1/λ]内单调递增。

当x≥1/λ时，
g(x)=f(x)-(λx－1)=x^2+(1-λ)x+1=[x-(λ-1)/2]^2+1-(1-λ)^2/4；；
令1/λ=(λ-1)/2，得λ=-1（舍去）或λ=2。
若0<λ≤2，此时(λ-1)/2≤1/λ，g(x)在区间(1/λ, +∞)内单调递增。
若λ>2，此时(λ-1)/2>1/λ，g(x)在区间(1/λ, (λ-1)/2]内单调递减；在区间((λ-1)/2, +∞)内单调递增。

（3）当x≤1/λ时，g(x)=[x+(1+λ)/2]^2-1-(1+λ)^2/4；
因为g(1/λ)=f(1/λ)=1/λ^2+1/λ>0，
g(-(1+λ)/2)=-1-(1+λ)^2/4<0；
故g(x)在区间(-∞, 1/λ)内有两个零点。（一个零点<-(1+λ)/2<0）
由于g(0)=-1<0，故有一个零点在(0, 1/λ)内。
如果1/λ<1，该零点当然在区间(0, 1)内；
如果1/λ≥1，g(1)=1+λ>0>g(0)，该零点也在区间(0, 1)内。

当x≥1/λ时，g(x)=[x-(λ-1)/2]^2+1-(1-λ)^2/4；
若0<λ<2，g(x)在区间(1/λ, +∞)内单调递增，因为g(1/λ)>0，故在区间(1/λ, +∞)内没有零点。
若λ≥2，g(x)在区间(1/λ, +∞)内的最小值为g((λ-1)/2)=1-(1-λ)^2/4。
令1-(1-λ)^2/4=0得，λ=3。（舍去λ=-1）
如果2≤λ<3，1-(1-λ)^2/4>0，g(x)在区间(1/λ, +∞)内没有零点。
如果λ=3，1-(1-λ)^2/4=0，g(x)在区间(1/λ, +∞)内有唯一一个零点x=1，不在区间(0, 1)内。
如果λ>3，1-(1-λ)^2/4<0，g(x)在区间(1/λ, +∞)内有两个零点。1/λ<1，由于g(1)=-λ<0<g(1/λ)，即其中一个零点在区间(1/λ, 1)内，故g(x)在区间(0, 1)内有第二个零点。

综上所述，
当λ>3时，g(x)在区间(0, 1)有2个零点；
当λ≤3时，g(x)在区间(0, 1)有1个零点。