Question

求解数学题，高中以上的来~题目没有问题

一天一只兔子看到前面有一只乌龟，乌龟说：虽然你的速度是我的10倍，但是我们两如果同时向前跑，因为我在你前面，且我们之前有一定的距离，不管你速度再怎么快，等你跑到我现在的位置的时候，我必然已经向前运动了一段距离，当你跑到我刚才运动的位置时，我又向前移动了一定的距离，所以你永远都追不上我。 很明显乌龟的话是错的，但是乌龟的话也有道理，可是实际的话肯定是兔子追上乌龟，乌龟的话究竟哪错了？
希望大家帮忙，答的好的话我会加悬赏

Answer 1

乌龟说得不对，他说兔子别想再追上他这是不可能的，兔子只是在一段时间中落后他。用正常的思维思考一下，不考虑跑累了后速度会减慢等各种现实或以外因素，一个跑的快的人就算从后方追赶跑得比他慢的人，那路程无限长的话，速度快的人会追不上吗？那是不可能的。以科学的说法是：这个故事是根据古希腊的芝诺悖论改编的。兔子要追上乌龟，必须先要到达乌龟原来所在的位置，当它到达该位置时，乌龟又往前爬行到一个新的位置，兔子又必须跑到这个新的位置……。这个过程可以无限延续，这样一个 “无穷过程” 固然需要无穷个时间段，但这无穷个时间段的总和却可以是一个 "有限值"。所用时间是多少呢，不妨假设兔子奔跑的速度V =10米/秒，乌龟的速度v = 1米/秒。兔子第一次跑完100米用时为10秒，第二次为1秒，第三次为0.1秒……；在这 “无穷过程” 中，所用时间总和为S = 10 + 1 + 0.1 +……，这是一个无穷等比数列求和的问题。该数列首项a =10，公比q = 0.1所以 S = a/(1-q) =10/(1-0.1)=100/9 =11.111……（秒）。在这段时间内兔子跑的总路程为10×100/9 =1000/9（米）；乌龟爬行的总路程为1×100/9 =100/9（米）。两数之差(1000/9）-（100/9）=100（米），也就是说在比赛开始后的11.111……秒时，兔子就已经追上了乌龟。（不高兴仔细算了，数字有出入的话，但方法就这样。）

追问

说实话，比较接近答案了，其实大学来解决这问题就简单了，但是没有到关键点，你是用假设来算的，但是你并没有说出乌龟的话错在哪里

追答

这是个数学与语文结合的悖论问题。其中乌龟说话有一个转折，读者容易掉进陷阱，忘记了计算速度与时间的关系，而只看到了乌龟跑的距离，这个题目用无限小数迷惑了读者的思想，这在逻辑学上没有问题，不过有个问题，我们都知道路程=速度*时间。这里的时间是制约条件，按你说的。第一次是兔子跑1米的时候，那么我们假设兔子跑1米需要1秒，第二次是0.1米，那么所需时间就是0.1秒...以此类推...看出问题了吗？在时间趋于零的情况下这个假设才会成立，而时间是不会停止的。由于时间的制约路程的曲线是呈抛物线形的，也就是说在兔子超过乌龟那一刹那，这个假设成立，但由于时间的流动，曲线马上就会向反方向行进，也就是兔子把乌龟超过了...

追问

真心的感谢你很有耐心的回答，按照乌龟的说法，兔子速度再快也只是无限接近却不超过。我一开始是想到时间，但是细想又不对。看到你的答案之后又细想了一下，刚有人给了我提示，说是乌龟忽略了什么，片面的只考虑了什么。我感觉答案似乎就快了，我已经提高悬赏，答对还会再给，希望再帮忙想想，谢谢。希望可以破开乌龟的话

追答

用这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”。先看下面的图
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A B C D E F……
兔子在A点时，乌龟在B点；兔子追到B，它爬到C；兔子追到C，它爬到D，……我们看到，兔子离乌龟越来越近,也就是，AB，BC，CD，……这些线段越来越短，每个都只有前一个的1／10,但是每一个线段的长度都不会是0，这就是说,当兔子按上面的过程去追乌龟时，在任何有限次之内兔子都追不上乌龟。 那么，兔子真的追不上乌龟了吗? 当然不是。所以会产生上述困难，是因为忽视了一个十分重要的因素：由于那些线段越来越短，兔子跑完那些线段所用的时间也越来越短，下一次只相当于上一次的1/10。

芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天的东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。芝诺悖论中除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，就是用兔子每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。
用这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”。例如，当兔子在第n次到达乌龟在第n次的起始点时，芝诺时记为n，这样，在芝诺时为有限的时刻,阿基里斯总是落在乌龟后面。但是在我们的钟表上,假如兔子跑完AB(即100米)用了1分钟，那么他跑完BC只要6秒钟，跑完CD只需 0.6秒，实际上，他只需要11/9分钟就可以追上乌龟了。
因此，芝诺悖论的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量兔子追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。 这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释。

Answer 2

就是乌龟的说法等效于，如果兔子走到了他走过的路程的某一点，那么他必然在他得前面。这显然正确的。（不然也不能叫那点是乌龟走过的了）但他说兔子不能追上她，与前面的说法没什么联系。。所以前面的正确，不影响后面的错误。
把不相关的东西连在一起，本来就错了。
兔子相对乌龟的速度是乌龟速度的9倍。相对速度大于0，肯定会追上

乌龟的错误在于，不着边际的理由推出一个结论

追问

刚同学给我一个提示，乌龟忽略了什么，片面的只考虑了什么……如果答出来我会加分

追答

看起来很哲学（应该是这个修饰词吧）的问题
政治不好啦。。。（考试乱蒙的。。）
他只以他走过的路程的某一点为对象考虑。或略了时间。追上是相对某一时间来说的，他分析的只是某一个地点。。。
他在那个地点没追上，不代表不会在以后某一时刻不追上
蒙得还好吧
乌龟只错了半句，正确的理由，但结论不搭理由。。

Answer 3

因乌龟兔子速度不同，我们可假设兔子跟乌龟的步伐大小不同，而落脚频率相等。我们可以把跑过的路程看成两者脚落地的一系列点的集合。虽然两者经过的路是一样的，但两者实际运动所得到的一系列点是不同的，即使偶尔有两列点的重合点。近似假设乌龟运动的其中一段路程a-b所得到的点为1、2、3、4、5、6……50，而兔子运动相同路程a-b却只用了1'、2'两点。假设乌龟在其10点的位置时，兔子在1'点（即乌龟的1点位置），即如乌龟所说“你跑到了我刚才运动的位置”，接着乌龟运动到11点的位置，而此时兔子运动到2'点的位置（即乌龟的50点的位置，即已经超过乌龟）。虽然乌龟有向前移动了一定距离，但兔子还是超过了乌龟。

追问

可能我没有叙述好，有人没有理解题目意思。乌龟的意思是他们同时出发，等兔子跑到刚才乌龟在的地方时，乌龟已经向前运动了一定距离，等兔子再次跑到乌龟的地方时，乌龟又向前运动了一定距离，他们都没有停下，一直向。前其实这是我同学问我的，但是想来想去他都说不对，所以才来这问……我分享一下我的思路，我首先顺着乌龟的话想了一下，确实有道理，照乌龟的说法，无论兔子速度再快，最多也只能是无限接近与乌龟，但是无法超过

Answer 4

其实，这是一种无限逼近的思想，有点类似于高数中的极限问题。
假设，乌龟的速度是1厘米/秒，兔子的速度是10厘米/秒，乌龟在兔子前9厘米。显然，1秒后，兔子追上乌龟。按乌龟的理论，兔子到达他开始的位置是，用了9/10，即0.9秒，此时乌龟向前移动了1*0.9=0.9厘米；兔子再次到达乌龟0.9秒时所在的位置，用了0.9/10=0.09秒，此时乌龟向前移动了1*0.09=0.09厘米；。。。。如此反复，兔子最上乌龟的时间就是0.9+0.09+0.009+......（秒）。这个式子算一下，最后的结果就是1（秒）。
乌龟是把运动分开，并分段分析的，这过程就是极限的不断逼近思想。

追问

这题的确是无限接近的思想，就好比0.999……无限循环和1, 0.9999……无限接近于1，但是不超过。关键是如何来反驳乌龟，用假设的话无法破开乌龟的话，只能说明两种说法都是对的

追答

回到刚才哪个假设，如果1厘米是乌龟的一步，10厘米时兔子的一步，那么显然，1秒结束，兔子追上乌龟。按乌龟的思路，在这一秒内，兔子在0.9秒到了乌龟在的地方，0.99秒又到一个，0.999秒再到1个.....。本来的无限逼近，由于时间的持续而得以实现。
乌龟的话，有个很深的陷阱，那就是“等你跑到我现在的位置的时候”。这句话，使得计算的思路会局限于距离，不断的分割运动，不断的分割时间，得出每次的时间片越来越小，从而产生无限逼近。如果沿着这个思路，忽略了时间的持续性，是没有办法破解乌龟的话的。

追问

没错，但是我希望的是可以破开乌龟的话，问问题的那人给我提示，乌龟忽略了什么，只考虑了什么？我已提高悬赏，答出来会再加，望在想想，谢谢

追答

原来是还有人问你啊，还有提示啊，呵呵
那你试试回答他/她：乌龟忽略了地球是圆的。当乌龟绕地球跑了一圈后，又绕到了兔子后面，兔子就在它前面了。

Answer 5

龟认为在同一时间内兔只能填过自己在这个时间内走过的路