Question

以例题求解微分的具体含义

我知道微分几何意义是切线的斜率，也表示函数y=f(x)中y关于x 的瞬时变化率。但是我想问瞬时变化率到底是什么意思？

有一道例题是这样的：
生产某样东西的成本与该物品的件数的函数关系为C=g(x)。那么g’(1000)=9表示什么含义呢？在生产过程中又有什么作用呢？

谢谢！

Answer 1

瞬时变化率说明在某个时刻它的变化率是多少，你用曲线来表示好理解些，在每一点它的斜率是不一样的，你可以理解为在每点的变化率都不一样

你的例题g’(1000)=9含义是在X=1000时，成本变化率是9，即X若增加或减少1个单位，成本变化9，但前提是g（x）是高次方程才有意义，这个在生产方面主要用于求经济成本

追问

那如果题目再给出一个条件，g’(1001)=6，也就是说题干中同时存在g’(1000)=9和g’(1001)=6这两个条件。在x=1000时，我说当x增加1个单位，即x变为1001，成本增加了9；而在x=1001时我说当x减少1个单位，即x变为1000，成本减少了6。这两者不是矛盾的吗？求解~（是不是我的思路太诡异了点==）

Answer 2

其实用微商来解释比较好，对于自变量x变化一个小量dx，其对应的函数y=f(x)也变化了一个小量dy。那么dy/dx就是一个微商，即你所说的切线斜率，也是函数的瞬时变化率，正如微商的形式，它表示函数y=f(x)随自变量x变化的快慢程度。用物理学中的量来举例吧，路程S随时间t变化的快慢程度就是速度v。那么题中的9就表示函数在x=1000时随x的变化而变化的快慢程度（相当于瞬时速度）。

Answer 3

首先要说明，你所举出的函数是不可导的 ，所以这个问题没有意义。

追问

为什么不可导?

追答

你所说的函数并不连续，只在自然数点有意义，所以不可导。
或者说一串离散的点无法画出切线