Question

已知x>0,y>0,且2/x+1/y=1,若x+2y>m²+2m恒成立,则实数m的取值范围

Answer 1

由2/x+1/y=1两边同时乘以xy,得2y+x=xy，又2y+x≥2√（2xy），即xy≥2√（2xy）,由于x＞0，y＞0，
故两边同时除以√（xy)，得√（xy)≥2√2，故xy≥8，即2y+x≥8。
x+2y>m²+2m，即m²+2m<8，解得-4<m<2

Answer 2

解：令t = y - 1，显然y > 1，则t > 0. 代入已知条件2y + x = xy得，x = (2t+2)/t. 则所求不等式可以整理为：(2t + 2)(t + 1)/t = xy = x + 2y > m² + 2m. 原题转化为求 f(t) = (2t + 2)(t + 1)/t 的最小值。
f(t) = 2t + 2/t +4 (t > 0)，则f(t)的最小值为8(t=1)，故m² + 2m < 8，解之，得-4 < m < 2.

Answer 3

x+2y=(x+2y)(2/x+1/y)=4+x/y+4y/x>=4+4=8,
x+2y>m²+2m恒成立,
∴m^2+m-8<0,
∴（-1-√33）/2<m<(-1+√33）/2.

Answer 4

（x+2y)(2/x+1/y)>m²+2m
2+2+x/y+4y/x≥4+2√4=8
m范围：(-4,2)