设f(x)是定义在R上的增函数,试利用定义证明函数F(x)=f(x)-f(a-x)在R上是增函数
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任取X1<X2
F(X1)-F(X2)=[f(X1)-f(a-X1)]-[f(X2)-f(a-X2)]=[f(X1)-f(X2)]+[f(a-X2)-f(a-X1)]
∵f(x)是定义在R上的增函数且X1<X2
∴a-X2<a-X1
∴f(X1)-f(X2)<0且f(a-X2)-f(a-X1)<0
∴F(X1)-F(X2)<0
∴函数F(x)=f(x)-f(a-x)在R上是增函数
F(X1)-F(X2)=[f(X1)-f(a-X1)]-[f(X2)-f(a-X2)]=[f(X1)-f(X2)]+[f(a-X2)-f(a-X1)]
∵f(x)是定义在R上的增函数且X1<X2
∴a-X2<a-X1
∴f(X1)-f(X2)<0且f(a-X2)-f(a-X1)<0
∴F(X1)-F(X2)<0
∴函数F(x)=f(x)-f(a-x)在R上是增函数
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f(x)是定义在R上的增函数，则f(－x)在R上是减函数，f(a-x)在R上是减函数，-f(a-x)在R上是增函数
因此F(x)=f(x)-f(a-x)在R上是增函数
因此F(x)=f(x)-f(a-x)在R上是增函数
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