Question

函数y=(x2-3x+3)/(x-2)(x>2)的值域为

Answer 1

用换元法，设t=x-2,t＞0，则
y=(x²-3x+3)/(x-2)
=[(t+2)²-3(t+2)+3]/t
=(t²+t+1)/t
=t + 1/t + 1
≥2√(t·1/t) + 1 (当且仅当t=1/t,也就是t=1时，取“=”，此时x=t+2=3）
=3

因此当x=3时，函数y=(x²-3x+3)/(x-2) (x＞2)取得最小值3。
推出值域=（3，+∞）

Answer 2

y=[(x-2)(x-1)+1]/(x-2)
=(x-2)(x-1)/(x-2)+1/(x-2)
=x-1+1/(x-2)
=(x-2)+1/(x-2)+1
x>2
x-2>0
(x-2)+1/(x-2)+1>=2√[(x-2)*1/(x-2)]+1=2+1=3
所以最小值=3

Answer 3

将x^2-3x+3拆解为（x-2）（x-1）+1
分母为（x-2），约分后为x-1+1/(x-2)
化成x-2+1/（x+2）+1
用基本不等式解

Answer 4

（-∞，-1）∪（3，+∞）