Question

x1,x2....,xn>0,x1+x2+...+xn<=1/2,求证:(1-x1)(1-x2)...(1-xn)<=1/2

Answer 1

1，只有1项时，结论显然。
2，假设对于n成立。
则n+1的情况，
(1-x_1)(1_x_2).......(1-x_n)(1-x_(n+1))
=(1-x_1)(1_x_2).......(1-x_n-x_(n+1)+x_n * x_(n+1))
>=(1-x_1)(1_x_2).......(1-x_n-x_(n+1))
>=1/2
所以对于任意n,原不等式恒成立。
此外关于本题不等式，我们还有如下情形更加一般的著名不等式：贝努利不等式 (1)设xi＞－1，i＝1，2，…，n，n ≥2且同号， 则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋xn)＞1＋x1＋x2＋…＋xn