Question

已知抛物线y=x²+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B。

（1）当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；
（2）当AB=2√2，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；
（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t）表示△PAB的面积。
1）当AB=2√2，且抛物线与的一个交点在y轴时，求S(t)的最大值，以及此时点P的坐标；
2）当AB=m（正常数）时，S（t)是否仍有最大值，若存在，求出S（t）的最大值以及此时点P的坐标（t，T）满足的关系，若不存在说明理由。

Answer 1

已知抛物线y=x+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B。
（1）当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围（详细过程）
抛物线为y=x^2+bx+c，它与直线y=x+1相交于两点
则，y=x^2+bx+c=x+1 ===> x^2+(b-1)x+(c-1)=0………………（1）
它们有两个交点，则说明上述关于x的一元二次方程有相异的两个实数根
则由根与系数的关系得到：
x1+x2=1-b
x1*x2=c-1
上面x1、x2分别代表A、B两点的横坐标
那么，AB中点的横坐标为(x1+x2)/2=(1-b)/2
已知AB中点在y轴上，所以：(1-b)/2=0
则，b=1
代入(1)式得到：x^2+(c-1)=0 ===> x^2=1-c
它有相异的两个实数根
则，1-c＞0
所以，c＜1

（2）当AB=2√2，求c的最小值，并写出c取最小值时，抛物线解析式。（过程要详细）
由前面根与系数的关系得到：
x1+x2=1-b
x1*x2=c-1
所以，(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(1-b)^2-4(c-1)
=b^2-2b-4c+5
而，y1=x1+1，y2=x2+1
所以，y1-y2=(x1+1)-(x2+1)=x1-x2
那么，(y1-y2)^2=(x1-x2)^2
而由两点间距离公式有：AB=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=2√2
===> (x1-x2)^2+(y1-y2)^2=8
===> 2(x1-x2)^2=8
===> (x1-x2)^2=4
===> b^2-2b-4c+5=4
===> b^2-2b-4c+1=0
===> (b-1)^2=4c
因为(b-1)^2≥0，所以：c≥0，此时b=1
所以，c的最小值为0
此时抛物线解析式为：y=x^2+x

（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动， S（t）表示△PAB的面积
1.当AB=2√2，且抛物线与 直线的一个交点在y轴时，求S（t）的最大值，以及此时点P的坐标；（过程详细）
由前面根与系数的关系知，x1*x2=c-1
已知抛物线与直线的交点有一个在y轴上，那么说明其中一个的横坐标为零
所以，x1*x2=0
即，c-1=0
所以，c=1
又，由前面(2)知，当AB=2√2时有：(b-1)^2=4c
所以，(b-1)^2=4*1=4
===> b-1=±2
===> b=3，或者b=-1
①
当b=3，c=1时，抛物线为y=x^2+3x+1
它与直线y=x+1相交，则：x^2+3x+1=x+1
===> x^2+2x=0
===> x1=0，x2=-2
所以，两个交点为(0,1)，(-2,-1)
②
当b=-1，c=1时，抛物线为y=x^2-x+1
它与直线y=x+1相交，则：x^2-x+1=x+1
===> x^2-2x=0
===> x1=0，x2=2
所以，两个交点为(2,3)，(0,1)
【说明，上述两种情况下，直线与抛物线构成的形状是完全一样的——就相当于将第一种情况向上平移2个单位，再向右平移2个单位】
所以先考察第二种情况：
点P在AB之间，设点P(t,t^2-t+1)（0＜t＜2）
过点P作x轴的垂线，与AB相交于点Q
则点Q的横坐标为t
又点Q在直线y=x+1上，所以其纵坐标为t+1
所以，点Q(t,t+1)
那么，PQ=(t+1)-(t^2-t+1)=2t-t^2
而，点A到PQ的距离=t-0=t；点B到PQ的距离=2-t
所以：S△APQ=(1/2)*PQ*点A到PQ的距离=(1/2)*(2t-t^2)*t
同理，S△BPQ=(1/2)*PQ*点B到PQ的距离=(1/2)*(2t-t^2)*(2-t)
那么，S△PAB=S△APQ+S△BPQ=(1/2)(2t-t^2)*t+(1/2)*(2t-t^2)*(2-t)
=(1/2)(2t-t^2)[t+(2-t)]
=(1/2)(2t-t^2)*2
=-t^2+2t
=-(t-1)^2+1
所以，t=1时，S△PAB有最大值=1
则点P(1,1)

因为前面分析了，两种情况进行平移互相得到，那么同时将点P平移也可以得到另一种情况下的点P
则，点P'(-1,-1)

2.当AB=m（正常数）时，S（t）是否仍有最大值，若存在，求出S（t）的最大值以及此时点P的坐标（t，T）满足的关系，若不存在说明理由。（过程详细）
由前面过程知，AB=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=m
===> 2(x1-x2)^2=m^2
===> 2(b^2-2b-4c+5)=m^2…………………………………………（2）
且，|x1-x2|=m/√2
不妨设点A(x1,y1)，点B(x2,y2)，且点A在B左边，即x1＜x2
那么同样进行上述过程，过点P作x中轴的垂线交抛物线于点Q
则：点P(t,t^2+bt+c)
点Q(t,t+1)
因为点P在AB之间，则点A在P左侧，B在P右侧
那么，点A到PQ的距离=t-x1，点B到PQ的距离=x2-t
且因为抛物线开口向上，则点Q一定是在点P之上
所以：PQ=(t+1)-(t^2+bt+c)=-t^2+(1-b)t+(1-c)
那么：
S△APQ=(1/2)*[-t^2+(1-b)t+(1-c)]*(t-x1)
S△BPQ=(1/2)*[-t^2+(1-b)t+(1-c)]*(x2-t)
则，S△PAB=(1/2)*[-t^2+(1-b)t+(1-c)]*(x2-x1)
=(1/2)*(m/√2)*[-t^2+(1-b)t+(1-c)]
=(m/2√2)*[-t^2+(1-b)t+(1-c)]
则对于二次函数y=-t^2+(1-b)t+(1-c)，它开口向下
那么，当t=(-b/2a)=(1-b)/2时有最大值
y的最大值为：(1-c)-[(1-b)^2/(-4)]=(1-c)+[(1-b)^2/4]
=[4-4c+(1-b)^2]/4
=[4-4c+1-2b+b^2]/4
=(b^2-2b-4c+5)/4
所以，S△PAB的最大值为=(m/2√2)*(b^2-2b-4c+5)/4
=(m/8√2)*(b^2-2b-4c+5)
将(2)式中b^2-2b-4c+5=m^2/2代入上式得到：
S△PAB的最大值=(m/8√2)*(m^2/2)=m^3/(16√2)
综上，当点P的横坐标t=(1-b)/2时，△PAB的面积有最大值m^2/(16√2)
【可以用这个结论检验上述第一问是正确的！】

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