Question

【高二数学】若a，b，c都是实数，且a+b+c=1，求证ab+bc+ac≤ 1/3

若a，b，c都是实数，且a+b+c=1，求证ab+bc+ac≤ 1/3

请写出证明步骤，谢谢！

Answer 1

平方
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1

a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
a²+c²≥2ac
相加
a²+b²+c²≥ab+bc+ca
而a²+b²+c²=1-2(ab+bc+ca)
所以1-2(ab+bc+ca)≥ab+bc+ca
所以ab+bc+ca≤1/3

Answer 2

1=(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a²+b²+c²+a²+b²+c²)/2+2ab+2bc+2ac>=3ab+3bc+3ac

所以1/3>=ab+bc+ac,当且仅当a=b=c取等