Question

设a为任意数，n是正整数，证明总可找到整数p和q（1≤p≤n），使得|pa-q|＜1/n

Answer 1

证明：如果a为整数，很显然当pa=q时，等式恒成立。

如果a不为整数，我们取a，2a，3a，……，（n-1）*a 共n-1个数，把0——1分成n等份，每份为1/n。然后我们看这些数的小数部分，如果有一个落在[0，1/n）这个区间，则命题成立。如果没有一个数的小数部分落在该区间，则n-1个数落在另外的n-2个区间内，根据抽屉原理可知，一定有两个在同一区间。我们设为：i*a、j*a，则：|（i-j）*a|<1/n

因此我们取p=i-j，q等于a的整数部分，则命题成立。