Question

锐角三角形ABC中，∠A=2∠B，求c/b的取值范围

Answer 1

由正弦定理可以得到
c/b=sinC/sinB
而∠C=2∠B
所以
c/b=sin2B/sinB

=2cosB
(二倍角公式)
下面就是求∠B的范围了
而∠A+∠B+∠C=180
所以
∠A+3∠B=180
故3∠B=180-∠A
而三角形是锐角三角形所以
0<∠A<90
所以
90<3∠B<180
即30<∠B<60..........(1)
又∠C也是锐角所以
0<∠C=2∠B<90
所以由此得0<∠B<45............(2)
结合(1)(2)知
30<∠B<45
所以√2/2<cosB<√3/2
所以√2<2cosB<√3
即√2<c/b<√3

Answer 2

∠A=2∠B ∠C=π-∠B-∠A=π-3∠B
c/b =sinC/sinB =sin(π-3B)/sinB =sin(3B)/sinB =3-4(sinB)²
锐角三角形ABC ∠A+∠B ﹥π/2 ∠A ﹤π/2 故π/6﹤∠B﹤π/4 所以1﹤c/b ﹤2

Answer 3

∠A=2∠B
∠C=180°-∠A-∠B＝180°-2∠B-∠B＝180°-3∠B
sinC=sin3B
　　=sin(2b+b)
　　=sin2bcosb+cos2bsinb
　　=2sina(1-sin^2b)+(1-2sin^2b)sinb
　　=3sinb-4sin^3b
所以c/b=sin3B/sinB=(3sinb-4sin^3b)/sinb=3-4(sinb)^2
又△ABC为锐角三角形，∠A=2∠B
所以角B<45°
0<sinb<√2/2
即c/b的取值范围是（-1,1）