Question

一道初一奥数几何题

两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称作着两条直线的“夹角”。如果在平面上画L条直线，要求他们两两相交，并且“夹角”只能是15度、30度、45度、60度、75度和90度之一，问：（1）L的最大值是多少？（2）当L取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？
我第二题做不出来，但第一题我认为L=24，因为可以画一个正L边形，外角是15度，那么L=24，而正L边形之外的其他所有相交线的“夹角”都应该是15度的倍数，也就是其他给出的度数。
大家给个定论呗～

Answer 1

这题貌似是华罗庚杯的

1.平面上最多有6条线,
因为夹角只能是30°、60°或者90°，其均为30°的倍数
所以每画一条直线后，逆时针旋转30°画下一条直线
这样就能够保证两两直线夹角为30°的倍数，即为30°、60°或者90°
（因为如果每次旋转度数其他角度，例如15°，则必然会出现两条直线的夹角为15°或15°的其他倍数，如45°这与题目不符）
因为该平面上的直线两两相交，也就是说不会出现平行的情况
在画出6条直线时，直线旋转过5次=5*30°=150°
如果再画出第7条直线，则旋转6次=6*30°=180°，这样第七条直线就与第一条直线平行了
所以最多能画出六条

2.
因为有六条直线两两相交，所以就有1+2+3+4+5=15个夹角
这15个夹角中有6个30°角，有6个60°角，有3个90°角
所以夹角和为6*30°+6+60°+3+90°=810°

追问

但是这题所给出的夹角是15及15的倍数啊，不是30
请再帮忙计算，谢谢！

追答

超悲剧。。。
幸好过程差不多，我画图看了一下，应该是这样的：

平面上最多有12条线,
因为夹角为15°的倍数
一样用逆时针旋转法保证两两直线夹角为15°的倍数
因为该平面上的直线两两相交，也就是说不会出现平行的情况
在画出12条直线时，直线旋转过11次=11*15°=165°
如果再画出第13条直线，则旋转12次=12*15°=180°，这样第13条直线就与第1条直线平行了
所以最多能画出12条
（其实貌似可以推导出，如果夹角是n的倍数，那么最多有180/N条（N能被180整除）

2、两两相交的12条线有1+2+3……+11=66个夹角= =
其实找规律就好了，首先11条直线和第一条直线相交的角分别为：
15 30 45 60 75 90 75 60 45 30 15
10条直线和第二条的夹角：
15 30 45 60 75 90 75 60 45 30
9条直线……
15 30 45 60 75 90 75 60 45
发现规律了吧（但是这样有点不严谨的感觉，，，）
所以答案应该是12*（15+30+45+60+75）+90*6=3240.

Answer 2

可以简化成所有直线相交于同一点 15度的倍数 即180度（注意不是360度，因为说的是直线 而不是线段）除以15度 为12条直线（注意不是13条，12个15度等分角，第13条直线即第一条） 。

每一条直线与其后直线相交构成夹角，即:
第一条：后面有11条线，相邻两条夹角为15度。构成的所有夹角和为：
15度*[1+2+3+4+5+6+“7”(12-7)+“8”(12-8)+“9”(12-9)+“10”(12-10)+“11”(12-11)]
=15度*(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1)=15度*36；
（注：因为要求夹角小于等于90度，大于90度时取互补角，用180度减）。

第二条：15度*[1+2+3+4+5+6+“7”(12-7)+“8”(12-8)+“9”(12-9)+“10”(12-10)]
=15度*(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2)=15度*35；
第三条：15度*[1+2+3+4+5+6+“7”(12-7)+“8”(12-8)+“9”(12-9)]
=15度*(1+2+3+4+5+6+5+4+3)=15度*33；

...............
以此类推

所有夹角和等于：
=15*(36+35+33+30+26+21+15+10+6+3+1)=15*216=3240度。