Question

已知f(x)=ax^3/3-(a+1)x^2+4x+1. (1)当a∈R时，讨论函数的单调增区间(2) 是否存在负实数a，

使x∈[-1,0]，函数有最小值-3？ 解析！！在线等！！谢了！

Answer 1

解: (1) 令f‘(x)=ax^2-2(a+1)x+4>0,则(ax-2)(x-2)>=0.
当a=0时, 有x>=2,此时单调增区间为[2,+∞);
当a>0时, 有(x-2/a)(x-2)>=0. 若0<a<1, 则x>=2/a或x<=2, 此时单调增区间为[2/a,+∞)和(-∞,2];
若a=1, 则不等式恒成立, 此时单调区间为(-∞,+∞);
若a>1, 则x<=2/a或x>=2, 此时单调增区间为[2,+∞)和(-∞,2/a];
当a<0时, 有(x-2/a)(x-2)<=0. 2/a<=x<=2, 即此时单调增区间为[2/a,2].
(2) a<0, 则函数在(-∞,2/a]上递减, 在[2/a,0]上递增.
当a>=-2, 2/a<=-1, 即函数在[-1,0]上递增, 则函数有最小值f(-1)=-a/3-(a+1)-4+1=-4a/3-4=-3, a=-3/4.
当a<=-2, 2/a>=-1, 即函数在[-1,2/a]上递减,在[2/a,0]上递增. 则函数有最小值f(2/a)=(3a^2+12a-4)/(3a^2)=-3, a=-1/2-(7/12)^(1/2),不符和假设, 舍去.
综上, 存在负实数a=-3/4, 使x∈[-1,0]，函数有最小值-3.

追问

这个(x-2/a)(x-2)是怎么来的？？

追答

(ax-2)(x-2)=a*(x-2/a)(x-2),因此需要对a的取值进行分类讨论.

追问

那(ax-2)(x-2)>=0.又是怎么来的……？

追答

f‘(x)=ax^2-2(a+1)x+4=(ax-2)(x-2)>=0.
导函数非负表示原函数单调递增.