Question

已知函数f(X)满足f(logaX)=[a(x-x^-1)]/(a^2-1),其中a＞0且a≠1 一道高一数学题 大家帮帮忙

已知函数f(X)满足f(logaX)=[a(x-x^-1)]/(a^2-1),其中a＞0且a≠1 (1) 对于函数f(X),当X∈(-1,1)时,f(1-M)+f(1-M^2)＜0.求实数M的取值集合. (2)当X∈(-∞,2)时,f(X)-4的值恰为负数,求a的取值范围. 谢谢大家帮忙 还请给出过程 ^O^
希望帮帮我 谢谢

Answer 1

已知函数f(x)满足f(logaX)=a(x-1/x)/(a^2-1)(a>0,a≠1）（1）对于函数f(x),当x∈（-1，1）时，f(1-m)+f(1-m^2)<0,求实数m的取值范围（2）当x∈（-∞，2）时，f(x)-4的值恒为负数，求实数a的取值范围 （1）。令logaX=t，x＞0，所以t∈R.则x=a^t,带入得f(t)=a*(a^t-a^-t)/(a^2-1),将t换成x，得到表达式f(x)=a*(a^x-a^-x)/(a^2-1),x∈R。然后考察它的奇偶性，单调性。令x=-x,带入得f(-x)=a*(a^-x-a^x)/(a^2-1),它恰好等于-f(x).所以是奇函数。然后看单调性。求导，f`(x)=a/(a^2-1)*(a^x*㏑a+a^-x*lna)=a/(a^2-1)*lna*(a^x+a^-x),讨论当0＜a＜1,导数大于0，a＞1,还是大于0.所以函数是增函数。然后再来解第一问。去掉f的办法是移向，利用奇偶性，单调性去掉符号。首先注意定义域，这里是（-1，1），所以得有-1＜1-m＜1,且-1＜1-m^＜1. 然后移向，f(1-m)＜-f(1-m^2)=f(m^2-1).又因为是增函数，所以1-m＜m^2-1.解这三个关于m的范围，取交集，即得解：（如果没解错的话，应该是）0＜m＜1.
(2).f(x)-4＜0，在区间（-∞，2）上恒成立，即f(x)＜4恒成立。即f(x)的最大值小于4即可。f(x)增函数，令x=2带入方程，得a*(a^2-a^-2)/(a^2-1)＜4.(注意，其实这里的x=2是取不到的，但可以用到不等式中，只要注意这个边界值是否可以取到即可。若可以取到，则有时候会写成≤某个值的情况。要注意）解这个不等式……a^2-a^-2,通分，得(a^4-1)/a^2=(a^2-1)*(a^2+1)/a^2,与下面的式子约掉一个（a^2-1),最后整理得a^2-4a+1<0,解得-√3+2＜a＜√3+2,然后与a＞0且a≠1取交集，得（-√3+2，1）∪（1，√3+2）。

Answer 2

（1）logaX=x
a^x=X
f(logaX)=(a/a^2-1)(x-x^-1)
f(x)=(a/a^2-1)(a^x-a^2x-1)
=-(a/a^2-1)[(a^x-1/2)^2+3/4]
当a^2-1<0, f(x)<0，所以f(1-m)+f(1-m^2)<0一定成立
当a^2-1>0, f(x)>0,所以f(1-m)+f(1-m^2)<0一定不成立
所以a^2-1<0，-1<1-m<1,-1<1-m^2<1,0<m<根号2
实数m值的集合为{m|0<m<根号2,0<a<1}
(2)f(x)=(a/a^2-1)(a^x-a^2x-1)
f(x)-4=(a/a^2-1)(a^x-a^2x-1)-4<0
当a^2-1>0, -f(x)>0,
(a/a^2-1)(a^2x-a^x+1)+4>0
(a/a^2-1)>0,a^2x-a^x+1>0,
恒成立，此时1<a
当a^2-1<0, 即0<a<1, f(x)<0,
(a/a^2-1)(a^x-a^2x-1)-4<0
(a/a^2-1)(a^x-a^2x-1)-4<0
a^x>0,且为减函数，a^x-a^2x-1<0,且为增函数，
所以取x=2时，有最大值：
(a^2-a^4-1)(a/a^2-1)
=(a^4-a^2+1)(a/1-a^2)
a/1-a^2是增函数，
(a^4-a^2+1)是即增又减函数，
所以当a=1/2时，(a^4-a^2+1)(a/1-a^2)最小，为1/2，1/2-4〈0，
所以恒成立，所以0<a<1
综上，a>0,且不为1。

追问

不要粘贴的 他的答案不对

追答

解：
（1）设u=log_a (x)，则x=a^u，于是
f(u)=a*(a^u-a^(-u))/(a^2-1)=(a^u-1/a^u)/(a-1/a)，
所以f(x)=(a^x-1/a^x)/(a-1/a)，
易知，f(x)为奇函数。
f'(x)= ln(a)*(a^x+a^(-x))*a/(a^2-1)；
①、 当00；
②、 当a>1时，f'(x)>0。
故f(x)为增函数，
f(1-M)+f(1-M^2)＜0 => f(1-M)＜-f(1-M^2)
=> f(1-M)＜f(M^2-1)，
所以，1-M＜M^2-1，M^2+M-2>0，(M+2)(M-1)>0，
M>1或M f(x)0，a≠1，所以，a的取值范围是：
(2-√3, 1)∪(1, 2+√3)。

Answer 3

解:由x-3(x-2)≤4+2b和a+2x/3>x-1得:x>=1-b,x<=3+3a即是:

1-b<=x<=3+3a从而有:1-b=1,3+3a=2;故a=-1/3,b=0