Question

已知函数f(x)满足f（logaX)=a/a^2-1(X-X^-1),其中a>0,且a不等于1，

当且仅当x属于(-无穷大，2),f(x)-4的值为负数，求a的取值范围

Answer 1

解：
（1）设u=log_a (x)，则x=a^u，于是
f(u)=a*(a^u-a^(-u))/(a^2-1)=(a^u-1/a^u)/(a-1/a)，
所以f(x)=(a^x-1/a^x)/(a-1/a)，
易知，f(x)为奇函数。
f'(x)= ln(a)*(a^x+a^(-x))*a/(a^2-1)；
①、 当0<a<1时，a^2-1<0，ln(a)<0，f'(x)>0；
②、 当a>1时，f'(x)>0。
故f(x)为增函数，
f(1-M)+f(1-M^2)＜0 => f(1-M)＜-f(1-M^2)
=> f(1-M)＜f(M^2-1)，
所以，1-M＜M^2-1，M^2+M-2>0，(M+2)(M-1)>0，
M>1或M<-2，
所以M的取值范围为(-∞, -2)∪(1, +∞)。

如果加上条件M∈(-1, 1)，则M的取值范围为Ø。
由此推测，可能题目传抄过程中有误，原题中第一问“(1) 对于函数f(X),当X∈(-1,1)时,f(1-M)+f(1-M^2)＜0.求实数M的取值集合.”其中，“X∈(-1,1)”与“f(1-M)+f(1-M^2)＜0”并无关系。

（2）f(x)-4<0 <=> f(x)<4；
因为f(x)为增函数，当x∈(-∞, 2)时，f(x)<f(2)，
令f(2)<4得：(a^2-1/a^2)/(a-1/a)<4，
a+1/a<4，a^2-4a+1<0，解之，2-√3<a<2+√3。
由于a>0，a≠1，所以，a的取值范围是：
(2-√3, 1)∪(1, 2+√3)。

Answer 2

满意回答中第一问有误，正确解法如下：
令log_a(x)=t，则x=a^t，
所以 f(t)=[a/(a^2-1)]·[a^t-a^(-t)]
所以 f(x)=[a/(a^2-1)]·[a^x-a^(-x)]
因为f(-x)=-f(x),故f(x)是R上的奇函数
当a＞1时，f(x)是R上的增函数，0＜a＜1时，f(x)是R上的增函数。
即a＞0且a≠1时， f(x)是R上的增函数。
由f(1-m)+f(1-m^2)＜0，有f(1-m)=f(m^2-1),
所以，1-m＜m^2-1①
-1＜1-m＜1②
-1＜m^2-1＜1③
联立①②③得，m∈(1,√2)
另外，第（2）问中左右取闭区间，即a∈[2-√3, 1)∪(1, 2+√3]。