Question

若函数满足f（x）满足f（loga*x）=（a/a²-1）×（x-1 /x）

Answer 1

令loga[x]=t，则x=a^t
f(t)=a/(a^2-1)×(a^t-1/a^t)
将t换成x，就是：
f(x)=a/(a^2-1)×(a^x-1/a^x)

f(-x)=a/(a^2-1)×[a^(-x)-1/a^(-x)] = -a/(a^2-1)×(a^x-1/a^x) = -f(x)，奇函数。

a＞0且a≠1
当0＜a＜1时，a^x单调减，-1/a^x单调减，a/(a^2-1)＜0，f(x)单调增；
当a＞1时，a^x单调增，-1/a^x单调增，a/(a^2-1)＞0，f(x)单调增。
综上，增函数。

第二问
x属于（-无穷大，2）
f(x)单调增
f(2)=a/(a^2-1)×(a^2-1/a^2)=a/(a^2-1) × (a^4-1)/a^2 = (a^2+1)/a = a+1/a
f(x)-4值恒为负数

则f(2)-4≤0
a+1/a - 4 ≤0
a^2-4a ≤ 1
(a-2)^2 ≤ 5
-√5 ≤ a-2 ≤ √5
2-√5 ≤ a ≤ 2+√5