Question

高中数学，数列问题求解！

设数列{an} 的前n项和为Sn，已知a1=1,a2=6,a3=11，且（5n-8）S(n+1)-(5n+2)Sn=An+B【S(n+1)是前n+1项和】,n=1,2,3……。其中A、B为常数
（1）求A与B的值
（2）证明数列{an}为等差数列
（3）证明：不等式 根号（5amn）-根号(aman)＞1 对任何正整数m,n都成立。
这个大题的前两个问都会，A=-20，B=-8；an=5n-4。

主要是第三个问，不等式一直做不明白。
那个不等式里5amn是5×amn，就是数列{an}的第mn项乘以5，aman是第m项和第n项的乘积。
高手们请帮忙解答一下，谢谢！

Answer 1

（1）解：由已知得：S1=1，S2=7，S3=18
令n=1,n=2，得：-3*7-7*1=A*1+B，2*18-12*7=2A+B
解得：A=-20，B=-8
（2）证明(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8
则 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28
两式相减,得：(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20
(5n-3)Sn+2-(5n-3)Sn+1-(5n+2)Sn+1+(5n+2)Sn=-20
(5n-3)an+2-(5n+2)an+1=20
则 (5n+2)an+3-(5n+7)an+2=20
两式相减,得：(5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0
an+3-2an+2+an+1=0
又已知a1=1,a2=6,a3=11，
综上，an+2-2an+1+an=0即2an+1=an+an+2
证得{an}为等差数列
（3）证明：由(1)知,5(n+1)(S(n+1)-Sn)-8S(n+1)-2Sn=-20n-8..①
又5(n+1)a(n+2)-5na(n+1)=-20(n+1)-8..②
②-①得5(n+1)a(n+2)-5na(n+1)-8a(n+2)-2a(n+1)=-20
即(5n-3)a(n+2)-(5n+2)a(n+1)=-20..③
又(5n+2)a(n+3)-(5n+7)a(n+2)=-20..④
④-③,得(5n+2)(a(n+3)-2a(n+2)+a(n+1))=0.因为5n+2≠0
所以a(n+3)-2a(n+2)+a(n+1)=0
所以a(n+3)-a(n+2)=a(n+2)-a(n+1),n≥1.又a3-a2=a2-a1=5,
因此,数列{an}是首项为1,公差为5的等差数列.
要证√(5amn)-√(am-an)>1,
只要让5amn>1+aman+2√(aman).
因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,
故只要证5(5mn-4)>1+25mn-20(m+n)+16+2√(aman).
即只要证20m+20n-37>2√(aman),
因为2√(aman)≤am+an=5m+5n-8<5m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37
所以命题成立！